Sejam
e
relações em
. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se
e
são simétricas, então
é simétrica.
Se
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente decidir se “se
e
são simétricas, então
é simétrica” é verdade ou não. Estamos em teoria de relações em um conjunto
. Pra resolver, a gente precisa:
- Saber o que é relação simétrica.
- Entender como funciona a união de duas relações.
- Fazer a prova (ou contra-exemplo) mostrando que a união mantém (ou não) a simetria.
Passo 2
Antes de provar, vamos relembrar a definição de simetria e de união.
- Uma relação
é simétrica se, para todo par , valendo
- A união dee é
Ou seja, um par pertencer à união se ele está em pelo menos uma das duas relações.
Passo 3
Agora a prova de que
é simétrica, assumindo que
e
já são simétricas.
- Pegue um par qualquer
. - Por definição de união, isso significa que ou
ou . - Se
, como é simétrica, a gente tem . - Se
, pelo mesmo motivo, . - Nos dois casos, concluímos que
.
Isso mostra exatamente que
ou seja,
Resposta
A proposição é verdadeira. A união de duas relações simétricas continua sendo simétrica, conforme a prova acima.