Sejam R e S relações em A. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se R e S são simétricas, então R cup S é simétrica.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente decidir se “se R e S são simétricas, então RcupS é simétrica” é verdade ou não. Estamos em teoria de relações em um conjunto A. Pra resolver, a gente precisa:
  1. Saber o que é relação simétrica.
  2. Entender como funciona a união de duas relações.
  3. Fazer a prova (ou contra-exemplo) mostrando que a união mantém (ou não) a simetria.

Passo 2

Antes de provar, vamos relembrar a definição de simetria e de união.
  • Uma relação Rsubseteq Atimes A é simétrica se, para todo par (x,y)in Atimes A, valendo (x,y)inRimplies(y,x)inR
    - A união de R e S é
    RcupS=(x,y)mid (x,y)inR ou (x,y)inS
Ou seja, um par pertencer à união se ele está em pelo menos uma das duas relações.

Passo 3

Agora a prova de que RcupS é simétrica, assumindo que R e S já são simétricas.
  1. Pegue um par qualquer (a,b)inRcupS.
  2. Por definição de união, isso significa que ou (a,b)inR ou (a,b)inS.
  3. Se (a,b)inR, como R é simétrica, a gente tem (b,a)inRsubseteqRcupS.
  4. Se (a,b)inS, pelo mesmo motivo, (b,a)inSsubseteqRcupS.
  5. Nos dois casos, concluímos que (b,a)inRcupS.
Isso mostra exatamente que
(a,b)inRcupSimplies(b,a)inRcupS,
ou seja, RcupS é simétrica.

Resposta

A proposição é verdadeira. A união de duas relações simétricas continua sendo simétrica, conforme a prova acima.

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