Sejam R e S relações em A. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se R é simétrica, então R cup R^-1 é simétrica

Passo 1

Beleza, o enunciado diz assim: temos uma relação sobre um conjunto . Queremos analisar a afirmação
“Se é simétrica, então é simétrica.”
Matéria: teoria de relações (simetria e relação inversa).
O que precisamos lembrar:
  1. Definição de relação simétrica.
  2. O que é a relação inversa .
  3. Como provar que união de duas relações é simétrica.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar as definições:
  • (x,y)in RLongrightarrow (y,x)in R é simétrica se para todo par R^-1=(y,x)mid (x,y)in R , (a,b)in RcupR^-1 Longrightarrow (b,a)in RcupR^-1
  • A relação inversa é o conjunto
  • Queremos provar: satisfaz a mesma condição de simetria, ou seja, para todo ,

Passo 3

Vamos à prova direta, supondo que (b,a)in R já é simétrica:
Seja (b,a)in RcupR^-1 . Aí rola em dois casos:
  1. Caso 1: (b,a)in RcupR^-1 .
    Como é simétrica, temos
    Mas , logo
  2. Caso 2: .
    Pela definição de inversa, significa que .
    E, de novo, . Então
Em ambos os casos, a troca de coordenadas fica dentro da união. Portanto é simétrica.

Resposta

A proposição é verdadeira. A demonstração acima mostra que, partindo de simétrica, a união também satisfaz a condição de simetria.

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