Sejam
e
relações em
. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se
é simétrica, então
é simétrica
Se
Passo 1
Beleza, o enunciado diz assim: temos uma relação
sobre um conjunto
. Queremos analisar a afirmação
“Seé simétrica, então é simétrica.”
Matéria: teoria de relações (simetria e relação inversa).
O que precisamos lembrar:
- Definição de relação simétrica.
- O que é a relação inversa
. - Como provar que união de duas relações é simétrica.
Passo 2
Primeiro, bora lembrar as definições:
-
é simétrica se para todo par , - A relação inversa
é o conjunto - Queremos provar:
satisfaz a mesma condição de simetria, ou seja, para todo ,
Passo 3
Vamos à prova direta, supondo que
já é simétrica:
Seja
. Aí rola em dois casos:
-
Caso 1:
.
Comoé simétrica, temos Mas, logo -
Caso 2:
.
Pela definição de inversa,significa que .
E, de novo,. Então
Em ambos os casos, a troca de coordenadas
fica dentro da união. Portanto
é simétrica.
Resposta
A proposição é verdadeira. A demonstração acima mostra que, partindo de
simétrica, a união
também satisfaz a condição de simetria.