Sejam R e S relações em A. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se R e S são antissimétricas, então R cap S é antissimétrica.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz: “Sejam e relações em . Se e são antissimétricas, então é antissimétrica.”
Conteúdo: teoria de relações binárias, em particular antissimetria, e operação de intersecção de relações.
O que vamos precisar:
  1. Definição de relação antissimétrica.
  2. Saber que significa “pares que estão em e em ao mesmo tempo.”

Passo 2

Lembra da definição de antissimétrica?
Uma relação forall a,bin A,; l((a,b)inT ;wed>=;(b,a)inTr);Longrightarrow;a=b em é antissimétrica se, sempre que e , a gente forçado a concluir que .
Em símbolos:

Passo 3

Agora prova que também satisfaz essa condição.
  1. Suponha e .
  2. Da definição de intersecção, significa e .
  3. Do mesmo modo, implica e .
  4. Como é antissimétrica, de e segue .
  5. (Opcional: também pelo mesmo raciocínio em chegamos a .)
  6. Logo, sempre que um par e seu inverso estão em , temos .

Resposta

A proposição é verdadeira. A intersecção de duas relações antissimétricas é antissimétrica.

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