Sejam
e
relações em
. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se
e
são antissimétricas, então
é antissimétrica.
Se
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz: “Sejam
e
relações em
. Se
e
são antissimétricas, então
é antissimétrica.”
Conteúdo: teoria de relações binárias, em particular antissimetria, e operação de intersecção de relações.
O que vamos precisar:
Conteúdo: teoria de relações binárias, em particular antissimetria, e operação de intersecção de relações.
O que vamos precisar:
- Definição de relação antissimétrica.
- Saber que
significa “pares que estão em e em ao mesmo tempo.”
Passo 2
Lembra da definição de antissimétrica?
Uma relação em
é antissimétrica se, sempre que
e
, a gente forçado a concluir que
.
Em símbolos:
Uma relação
Em símbolos:
Passo 3
Agora prova que
também satisfaz essa condição.
- Suponha
e . - Da definição de intersecção,
significa e . - Do mesmo modo,
implica e . - Como
é antissimétrica, de e segue . - (Opcional: também pelo mesmo raciocínio em
chegamos a .) - Logo, sempre que um par e seu inverso estão em
, temos .
Resposta
A proposição é verdadeira. A intersecção de duas relações antissimétricas é antissimétrica.