Sejam R e S relações em A. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se R é antissimétrica, então R^-1 é antissimétrica.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos uma relação sobre um conjunto . Queremos decidir se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
“Se é antissimétrica, então é antissimétrica.”
Conteúdo: teoria de relações (inversa de relação e antissimetria).
O que vamos usar:
  • Definição de antissimetria.
  • Definição de relação inversa.

Passo 2

Definições básicas (pequeno resumo da teoria):
  1. Dizemos que (x,y)in R;wed>=;(y,x)in R Longrightarrow x = y é antissimétrica em R^-1 ;=; (y,x)mid (x,y)in R quando, para todo ,
  1. A relação inversa é o conjunto
Ou seja, ela “vira” cada par de .

Passo 3

Demonstração de que, se (x,y)in R^-1 e (y,x)in R^-1 é antissimétrica, então também é:
  1. Suponha que é antissimétrica.
  2. Para mostrar que é antissimétrica, pegamos dois elementos quaisquer tais que
  3. Pela definição de inversa:
    • significa .
    • significa .
  4. Então temos simultaneamente e .
  5. Como .
  6. Isso prova exatamente que satisfaz a condição de antissimetria.

Resposta

A proposição é verdadeira.

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