Sejam
e
relações em
. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se
é antissimétrica, então
é antissimétrica.
Se
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos uma relação
sobre um conjunto
. Queremos decidir se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
“Seé antissimétrica, então é antissimétrica.”
Conteúdo: teoria de relações (inversa de relação e antissimetria).
O que vamos usar:
- Definição de antissimetria.
- Definição de relação inversa.
Passo 2
Definições básicas (pequeno resumo da teoria):
- Dizemos que
é antissimétrica em quando, para todo ,
- A relação inversa
é o conjunto
Ou seja, ela “vira” cada par de
.
Passo 3
Demonstração de que, se
é antissimétrica, então
também é:
- Suponha que
é antissimétrica. - Para mostrar que
é antissimétrica, pegamos dois elementos quaisquer tais que - Pela definição de inversa:
-
significa . -
significa .
-
- Então temos simultaneamente
e . - Como .
- Isso prova exatamente que
satisfaz a condição de antissimetria.
Resposta
A proposição é verdadeira.