Sejam
e
relações em
. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se
e
são antissimétricas, então
é antissimétrica.
Se
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos duas relações em um conjunto
, chamadas
e
. Ambas são antissimétricas (ou seja, sempre que um par
e o par inverso
estiverem na relação, isso só pode acontecer se
). A pergunta é: será que a composição
também é antissimétrica?
Conteúdo: teoria de relações (antissimetria e composição de relações).
O que precisamos:
O que precisamos:
- Entender bem o que é “antissimétrica”.
- Lembrar como se define a composição
. - Mostrar que a afirmação é falsa, dando um contra-exemplo simples.
Passo 2
Teoria usada:
- Uma relação
em é antissimétrica se, sempre que e , então . - A composição
é definida por
Pra refutar, a ideia é escolher
e
antissimétricas mas fazer com que
tenha um par
e o seu inverso
com
.
Passo 3
Vamos montar o contra-exemplo. Seja
Definimos
-
é antissimétrica porque não temos nenhum par invertido. -
também é antissimétrica pelo mesmo motivo.
Passo 4
Agora calculamos
.
Para ver se está em
, achamos um
tal que
e
.
Para ver se
-
x=1:
- 1→2 em
e 2→1 em ⇒ (1,1) - 1→3 em
e 3→2 em ⇒ (1,2) - 1→3 em
e 3→1 em ⇒ (1,1) (já tínhamos)
- 1→2 em
-
x=2:
- 2→3 em
e 3→2 em ⇒ (2,2) - 2→3 em
e 3→1 em ⇒ (2,1)
- 2→3 em
-
x=3: não sai nada porque
não tem pares com 3 à esquerda.
Logo
Passo 5
Repare que em
temos
e também
, mas
. Isso viola a antissimetria (pois apareceu um par e seu inverso para valores distintos).
Resposta
A proposição é falsa. Contra-exemplo:
,
e
.
Ambas são antissimétricas, mas não é, pois contém
e
com
.
Ambas são antissimétricas, mas