Sejam U e V v.a.'s i.i.d. com distribuição comum N(0,1). Seja Z=\rho U+\sqrt{1-\rho^{2}} V, onde -1< \rho<1.
a) Obtenha a densidade de Z.
b) Obtenha a densidade conjunta de U e Z.
c) Obtenha a densidade conjunta de X=\mu_{1}+\sigma_{1} U e Y=\mu_{2}+\sigma_{2} Z, onde \sigma_{1}>0 e \sigma_{2}>0. Esta densidade é conhecida como densidade normal bidimensional.

Passo 1

O enunciado diz que temos U e V independentes e identicamente distribuídas como N(0,1). Definimos
Z = \rho\,U + \sqrt{1-\rho^2}\,V,
com -1<\rho<1.
Pedem:
a) densidade marginal de Z,
b) densidade conjunta de (U,Z),
c) densidade conjunta de X=\mu_1+\sigma_1 U e Y=\mu_2+\sigma_2 Z.
Para resolver vamos usar propriedades de combinações lineares de gaussianas e mudança de variáveis com jacobiano.

Passo 2

Para a densidade de Z note que Z é combinação linear de U e V, cada um N(0,1) e independentes. Logo
\mathbb{E}[Z] = \rho\,\mathbb{E}[U] + \sqrt{1-\rho^2}\,\mathbb{E}[V] = 0,
\mathrm{Var}(Z) = \rho^2\mathrm{Var}(U) + (1-\rho^2)\mathrm{Var}(V) = \rho^2 + (1-\rho^2) = 1.
Portanto Z\sim N(0,1) e sua densidade é
f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\!\bigl(-\tfrac{z^2}{2}\bigr).

Passo 3

Para a densidade conjunta de (U,Z) fazemos a transformação
(u,v)\mapsto (u,z=\rho u+\sqrt{1-\rho^2}\,v).
A inversa é
u = u,\quad v = \frac{z-\rho u}{\sqrt{1-\rho^2}}.
O jacobiano em valor absoluto vale
\Bigl|\det J\Bigr| = \frac1{\sqrt{1-\rho^2}}.
Como f_{U,V}(u,v)=\tfrac1{2\pi}\exp\bigl[-\tfrac12(u^2+v^2)\bigr], obtemos
f_{U,Z}(u,z) = f_{U,V}\bigl(u,\tfrac{z-\rho u}{\sqrt{1-\rho^2}}\bigr) \cdot\frac1{\sqrt{1-\rho^2}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}} \exp\!\Bigl\{-\frac1{2(1-\rho^2)}\bigl(u^2 -2\rho u z + z^2\bigr)\Bigr\}.

Passo 4

Para (X,Y) usamos a mudança de variáveis
X = \mu_1 + \sigma_1\,U,\quad Y = \mu_2 + \sigma_2\,Z.
A inversa é U=(X-\mu_1)/\sigma_1, Z=(Y-\mu_2)/\sigma_2 e o jacobiano vale
\Bigl|\det J\Bigr| = \frac1{\sigma_1\,\sigma_2}.
Logo
f_{X,Y}(x,y) = f_{U,Z}\!\bigl(\tfrac{x-\mu_1}{\sigma_1},\tfrac{y-\mu_2}{\sigma_2}\bigr) \cdot\frac1{\sigma_1\sigma_2},
que dá a forma padrão da normal bidimensional.

Resposta

a)
f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigl(-\tfrac{z^2}{2}\bigr).
b)
f_{U,Z}(u,z) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}} \exp\!\Bigl\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)} \bigl(u^2 - 2\rho\,u\,z + z^2\bigr)\Bigr\}.
c)
f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{2\pi\,\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\!\Bigl\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \bigl( \tfrac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} -2\rho\,\tfrac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} +\tfrac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} \bigr) \Bigr\}.

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