Sejam U e V v.a.'s i.i.d. com distribuição comum N(0,1). Seja Z=\rho U+\sqrt{1-\rho^{2}} V, onde -1<\rho<1.
a) Obtenha a densidade de Z.
b) Obtenha a densidade conjunta de U e Z.
c) Obtenha a densidade conjunta de X=\mu_{1}+\sigma_{1} U e Y=\mu_{2}+\sigma_{2} Z, onde \sigma_{1}>0 e \sigma_{2}>0. Esta densidade é conhecida como densidade normal bidimensional.
Passo 1
O enunciado diz que temos U e V independentes e identicamente distribuídas como N(0,1). Definimos
Z = \rho\,U + \sqrt{1-\rho^2}\,V,
com -1<\rho<1.
Pedem:
a) densidade marginal de Z,
b) densidade conjunta de (U,Z),
c) densidade conjunta de X=\mu_1+\sigma_1 U e Y=\mu_2+\sigma_2 Z.
Para resolver vamos usar propriedades de combinações lineares de gaussianas e mudança de variáveis com jacobiano.
Passo 2
Para a densidade de Z note que Z é combinação linear de U e V, cada um N(0,1) e independentes. Logo