Sejam e retas . Estude, segundo valores de : e são concorrentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço tridimensional definidas pelas equações paramétricas:
Reta r: $ \mathbf{X} = (1, -1, 2) + t(2, 1, -1) $
Reta s: $ \mathbf{X} = (0, 0, -1) + s(1, 2m, m) $
O objetivo é descobrir para quais valores de m essas duas retas r e s se interceptam, ou seja, são concorrentes. Para isso, vamos precisar entender vetores e equações paramétricas de retas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que duas retas no espaço se interceptam se existe um ponto que pertence a ambas. Isso significa que para algum valor de t e s, as coordenadas das retas r e s devem ser iguais.
Então, vamos igualar as duas equações paramétricas:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar t, s e m. A ideia é expressar uma variável em termos das outras e substituir.
Da primeira equação, já temos s em função de t:
s = 1 + 2t
Passo 4
Vamos substituir s na segunda equação:
-1 + t = 2m (1 + 2t)
Distribuindo o 2m:
-1 + t = 2m + 4m t
Vamos reorganizar os termos para isolar os que contêm t:
t - 4m t = 2m + 1
Fatorando t:
t (1 - 4m) = 2m + 1
Então, expressamos t em função de m:
t = 2m + 11 - 4m
Passo 5
Agora, vamos substituir s = 1 + 2t e t = \frac{2m + 1}{1 - 4m} na terceira equação do sistema:
2 - t = -1 + m s
Substituindo:
2 - ( 2m + 11 - 4m ) = -1 + m (1 + 2t)
Primeiro, vamos calcular m (1 + 2t):
m (1 + 2t) = m (1 + 2 cdot 2m + 11 - 4m) = m ( 1 - 4m + 4m + 21 - 4m ) = m ( 31 - 4m ) = 3m1 - 4m
Agora, substituindo de volta na equação:
2 - 2m + 11 - 4m = -1 + 3m1 - 4m
Passo 6
Vamos multiplicar todos os termos por 1 - 4m para eliminar os denominadores:
2(1 - 4m) - (2m + 1) = -1(1 - 4m) + 3m
Distribuindo:
2 - 8m - 2m - 1 = -1 + 4m + 3m
Simplificando ambos os lados:
1 - 10m = -1 + 7m
Passo 7
Agora, vamos resolver para m:
1 + 1 = 7m + 10m 2 = 17m m = 217
Resposta
Portanto, as retas r e s são concorrentes quando o valor de $ m = \frac{2}{17} $.