Sejam
e
retas . Estude, segundo valores de
:
e
são paralelas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas no espaço definidas por equações paramétricas. O objetivo aqui é encontrar os valores de $ m $ que fazem com que as retas $ r $ e $ s $ sejam paralelas. Para isso, vamos precisar entender vetores diretores das retas e a condição de paralelismo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das duas retas. A reta $ r $ é dada por:
Aqui, o vetor diretor é $ \mathbf{v}_r = (2, 1, -1) $.
Já a reta $ s $ é:
Então, o vetor diretor é $ \mathbf{v}_s = (1, 2m, m) $.
Passo 3
Para que as retas $ r $ e $ s $ sejam paralelas, os vetores diretores $ \mathbf{v}_r $ e $ \mathbf{v}_s $ precisam ser proporcionais. Isso quer dizer que existe um número real $ k $ tal que:
Ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver o sistema. Da primeira equação:
Agora, substituímos $ k = 2 $ na segunda equação:
E na terceira equação:
Passo 5
Observamos que encontramos dois valores diferentes para $ m $: $ \frac{1}{4} $ e $ -\frac{1}{2} $. Isso significa que não existe um único valor de $ m $ que satisfaça todas as equações simultaneamente. Portanto, não há valor de $ m $ que faça com que as retas $ r $ e $ s $ sejam paralelas.
Resposta
Não existe nenhum valor de $ m $ que torne as retas $ r $ e $ s $ paralelas.