Sejam r: X=(1,-1,2)+t(2,1,-1) e s: X=(0,0,-1)+s(1,2m, m) retas . Estude, segundo valores de m:
r e s são paralelas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas no espaço definidas por equações paramétricas. O objetivo aqui é encontrar os valores de $ m $ que fazem com que as retas $ r $ e $ s $ sejam paralelas. Para isso, vamos precisar entender vetores diretores das retas e a condição de paralelismo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das duas retas. A reta $ r $ é dada por:
r
Aqui, o vetor diretor é $ \mathbf{v}_r = (2, 1, -1) $.
Já a reta $ s $ é:
X = (1, -1, 2) + t(2, 1, -1)
Então, o vetor diretor é $ \mathbf{v}_s = (1, 2m, m) $.

Passo 3

Para que as retas $ r $ e $ s $ sejam paralelas, os vetores diretores $ \mathbf{v}_r $ e $ \mathbf{v}_s $ precisam ser proporcionais. Isso quer dizer que existe um número real $ k $ tal que:
r
Ou seja:
s
Isso nos dá um sistema de equações:
vr

Passo 4

Vamos resolver o sistema. Da primeira equação:
2 = k cdot 1 Rightarrow k = 2
Agora, substituímos $ k = 2 $ na segunda equação:
k = 2
E na terceira equação:
1 = 2 cdot 2m Rightarrow 1 = 4m Rightarrow m = 14

Passo 5

Observamos que encontramos dois valores diferentes para $ m $: $ \frac{1}{4} $ e $ -\frac{1}{2} $. Isso significa que não existe um único valor de $ m $ que satisfaça todas as equações simultaneamente. Portanto, não há valor de $ m $ que faça com que as retas $ r $ e $ s $ sejam paralelas.

Resposta

Não existe nenhum valor de $ m $ que torne as retas $ r $ e $ s $ paralelas.

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