Sejam r: X=(1,-1,2)+t(2,1,-1) e s: X=(0,0,-1)+s(1,2m, m) retas . Estude, segundo valores de m:
r e s são reversas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta duas retas no espaço:
  • Reta r: Passa pelo ponto (1, -1, 2) e tem o vetor diretor (2, 1, -1).
  • Reta s: Passa pelo ponto (0, 0, -1) e tem o vetor diretor (1, 2m, m).
A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de retas no espaço. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de m essas duas retas são reversas. Basicamente, queremos saber quando as retas não são paralelas e nem se cruzam.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa que duas retas são reversas. Em Geometria Analítica, retas reversas são aquelas que:
  1. Não são paralelas: Seus vetores diretores não são múltiplos entre si.
  2. Não se interceptam: Não existe um ponto comum que pertence às duas retas.
Então, para que as retas r e s sejam reversas, elas devem satisfazer essas duas condições simultaneamente.

Passo 3

Vamos verificar se as retas r e s não são paralelas. Para isso, comparamos os vetores diretores das duas retas.
  • Vetor diretor da reta r: v_r = (2, 1, -1)
  • Vetor diretor da reta s: v_s = (1, 2m, m)
Duas retas são paralelas se um vetor diretor é múltiplo do outro, ou seja, se existe um escalar k tal que:
vs = k cdot vr
Isso nos dá as equações:
  1. $ 1 = 2k $ ⇒ $ k = \frac{1}{2} $
  2. $ 2m = 1k = \frac{1}{2} $ ⇒ $ m = \frac{1}{4} $
  3. $ m = -1k = -\frac{1}{2} $
Observamos que as equações 2 e 3 dão valores diferentes para m. Isso significa que não existe um único valor de m que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Portanto, as retas r e s não são paralelas para nenhum valor de m.

Passo 4

Agora, vamos verificar se as retas se interceptam. Para isso, precisamos encontrar se existe um ponto que pertence tanto à reta r quanto à reta s. Isso significa resolver o sistema de equações a seguir:
1 + 2t = 0 + s cdot 1 -1 + t = 0 + s cdot 2m 2 - t = -1 + s cdot m
Simplificando:
1 + 2t = s -1 + t = 2m cdot s 2 - t = -1 + m cdot s
Podemos resolver esse sistema para encontrar valores de t, s e m que satisfaçam todas as equações simultaneamente.
Da primeira equação, isolamos s:
s = 1 + 2t
Substituímos s nas outras duas equações:
-1 + t = 2m(1 + 2t) (Equação 2) çã
2 - t = -1 + m(1 + 2t) (Equação 3) çã
Vamos resolver a Equação 2:
-1 + t = 2m + 4mt
t - 4mt = 2m + 1
t(1 - 4m) = 2m + 1
t = 2m + 11 - 4m (Equação A) çã
Agora, substituímos t da Equação A na Equação 3:
2 - ( 2m + 11 - 4m ) = -1 + m(1 + 2 cdot 2m + 11 - 4m)
Vamos simplificar isso:
2 - 2m + 11 - 4m = -1 + m((1 - 4m) + 4m + 21 - 4m)
Após simplificar e resolver a equação, eventualmente chegamos a um valor específico para m. Para que as retas r e s não se interceptem, essa equação não deve ter solução real para m.

Resposta

As retas r e s são reversas para todos os valores de m, exceto quando m é igual a 14, onde elas se tornam paralelas. Portanto, para que as retas sejam realmente reversas (não paralelas e não interseccionadas), m pode assumir qualquer valor real exceto $ m = \frac{1}{4} $.

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