Sejam r1(t)=(x1(t), y1(t), z1(t)) e r2(t)=(x2(t), y2(t), z2(t)) curvas no espaço.
(a) Mostre que a derivada do produto escalar satisfaz
(r1(t) bul<=t r2(t))^prime=r1^prime(t) bul<=t r2(t)+r1(t) bul<=t r2^prime(t)
(b) Suponha, adicionalmente, que o tamanho do vetor r1(t) é igual a |r1(t)|=1, para todo instante t. Decida se é possível que, em um certo instante t0, tenhamos r1^prime(t0) bul<=t r1(t0)=-2.

Passo 1

O enunciado nos dá duas curvas r1(t)=(x1(t),y1(t),z1(t)) e r2(t)=(x2(t),y2(t),z2(t)) em R^3. Na parte (a) precisamos provar a regra do produto para o escalar, ou seja, que
l(r1(t)bul<=t r2(t)r)' = r1'(t)bul<=t r2(t) + r1(t)bul<=t r2'(t)
Para isso vamos usar a definição do produto escalar coordenada a coordenada e a regra do produto de funções reais. Na parte (b) temos ainda a condição |r1(t)|=1 para todo t, e devemos verificar se é possível que em algum instante t0 ocorra
,r1'(t0)bul<=t r1(t0)=-2.

Passo 2

Para (a), escrevemos primeiro o produto escalar em coordenadas:
r1(t)bul<=t r2(t) = x1(t),x2(t) + y1(t),y2(t) + z1(t),z2(t)
Agora derivamos termo a termo usando a regra do produto para funções reais:
ddtl(x1x2r) = x1'(t),x2(t) + x1(t),x2'(t),
e de modo análogo para os pares y1y2 e z1z2. Somando tudo,
l(r1bul<=t r2r)' = x1'x2 + x1x2' + y1'y2 + y1y2' + z1'z2 + z1z2' = r1'bul<=t r2 + r1bul<=t r2'

Passo 3

Para (b), como |r1(t)|=1 temos
|r1(t)|^2 = r1(t)bul<=t r1(t) = 1
Derivando ambos os lados em t:
ddtl(r1bul<=t r1r) = ddt(1) Longrightarrow 2,r1'(t)bul<=t r1(t) = 0 Longrightarrow r1'(t)bul<=t r1(t) = 0
para todo t. Logo em nenhum instante podemos ter r1'bul<=t r1=-2.

Resposta

(a) (r1bul<=t r2)' = r1'bul<=t r2 + r1bul<=t r2'.
(b) Não é possível, pois sempre vale r1'(t)!bul<=t r1(t)=0.

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