Sejam
e
curvas no espaço.
(a) Mostre que a derivada do produto escalar satisfaz
(b) Suponha, adicionalmente, que o tamanho do vetor
é igual a
, para todo instante
. Decida se é possível que, em um certo instante
, tenhamos
.
(a) Mostre que a derivada do produto escalar satisfaz
Passo 1
O enunciado nos dá duas curvas
e
em
. Na parte (a) precisamos provar a regra do produto para o escalar, ou seja, que
Para isso vamos usar a definição do produto escalar coordenada a coordenada e a regra do produto de funções reais. Na parte (b) temos ainda a condição
para todo
, e devemos verificar se é possível que em algum instante
ocorra
.
Passo 2
Para (a), escrevemos primeiro o produto escalar em coordenadas:
Agora derivamos termo a termo usando a regra do produto para funções reais:
e de modo análogo para os pares
e
. Somando tudo,
Passo 3
Para (b), como
temos
Derivando ambos os lados em
:
para todo
. Logo em nenhum instante podemos ter
.
Resposta
(a)
.
(b) Não é possível, pois sempre vale .
(b) Não é possível, pois sempre vale