Calcule os limites
lim x 1 e^3 x-e^3x-1

Passo 1

Resumo da questão: calcular
limx to 1 e^3x - e^3x - 1
Conteúdo envolvido: limites, forma indeterminada 0/0, regra de L’Hôpital, derivada de função exponencial e regra da cadeia. Vamos precisar reconhecer a indeterminação, aplicar a regra de L’Hôpital e saber derivar e^3x.

Passo 2

Primeiro, tentamos substituir x=1 direto no quociente:
e^3cdot 1 - e^31 - 1 = e^3 - e^30 = 00,
que é uma forma indeterminada. Relaxa, isso só significa que precisamos usar outra ferramenta.

Passo 3

A ferramenta é a regra de L’Hôpital. Ela diz que, se temos
limxto af(x)g(x) = 00,
e f e g são diferenciáveis perto de a e g'(x)neq0, então
limxto af(x)g(x) = limxto af'(x)g'(x)
Aqui f(x)=e^3x-e^3 e g(x)=x-1.

Passo 4

Vamos derivar numerador e denominador:
  • Derivada de g(x)=x-1 é g'(x)=1.
  • Derivada de f(x)=e^3x-e^3: o termo constante -e^3 some, e
ddxe^3x = e^3xcdot(3)
por causa da regra da cadeia. Logo f'(x)=3e^3x.
Pela regra de L’Hôpital, nosso limite vira
limxto1f'(x)g'(x) = limxto13e^3x1 = limxto13e^3x

Passo 5

Agora é só substituir x=1:
3e^3cdot1 = 3e^3

Resposta

boxed3e^3

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