Sejam r1(t)=(x1(t), y1(t), z1(t)) e r2(t)=(x2(t), y2(t), z2(t)) curvas no espaço.
(a) Mostre que
(r1(t) times r2(t))^prime=r1^prime(t) times r2(t)+r1(t) times r2^prime(t)
(b) Suponha, adicionalmente, que r1(t) é proporcional a r2(t), para todo instante t. Se, em um certo instante t0, temos r1^prime(t0) times r2(t0)=(3,5,-2), determine r1(t0) times r2^prime(t0).

Passo 1

O enunciado define duas curvas no espaço
r1(t)=(x1(t),y1(t),z1(t)), r2(t)=(x2(t),y2(t),z2(t))
e pede em (a) que a gente mostre a regra da derivada do produto vetorial
l(r1times r2r)'=r1'times r2+r1times r2',
que é um caso do produto de funções vetoriais bilineares. Em (b) supomos ainda que r1(t) é sempre proporcional a r2(t), isto é, r1(t)=lambda(t),r2(t). Com isso queremos, dado
r1'(t0)times r2(t0)=(3,5,-2),
achar r1(t0)times r2'(t0).

Passo 2

Para (a) escrevemos primeiro o produto vetorial em coordenadas:
r1times r2 =l(y1z2-z1y2,;z1x2-x1z2,;x1y2-y1x2r)
Agora derivamos cada componente em relação a t. Por exemplo, a primeira componente vira
ddt(y1z2-z1y2) =y1',z2+y1,z2'-l(z1',y2+z1,y2'r),
e o mesmo procedimento vale para as outras duas componentes.

Passo 3

Reagrupando os termos de forma a separar as derivadas de r1 e as de r2, obtemos
(r1times r2)' =l(y1'z2-z1'y2,,z1'x2-x1'z2,,x1'y2-y1'x2r) + l(y1z2'-z1y2',,z1x2'-x1z2',,x1y2'-y1x2'r)
Mas o primeiro parêntese é exatamente r1'times r2 e o segundo é r1times r2'. Logo
l(r1times r2r)' =r1'times r2+r1times r2',
que era o que queríamos mostrar.

Passo 4

Agora em (b) sabemos que r1(t) e r2(t) são sempre paralelos, então
r1(t)times r2(t)=0
para todo t. Diferenciando isso e usando o resultado de (a) dá
0=ddtl(r1times r2r) =r1'times r2+r1times r2'
Reordenando,
r1(t)times r2'(t) =-,l(r1'(t)times r2(t)r)
Em t=t0 isso vale
r1(t0)times r2'(t0) =-,(3,5,-2)=(-3,-5,2)

Resposta

(-3,-5,2)

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