Sejam
e
curvas no espaço.
(a) Mostre que
(b) Suponha, adicionalmente, que
é proporcional a
, para todo instante
. Se, em um certo instante
, temos
, determine
.
(a) Mostre que
Passo 1
O enunciado define duas curvas no espaço
e pede em (a) que a gente mostre a regra da derivada do produto vetorial
que é um caso do produto de funções vetoriais bilineares. Em (b) supomos ainda que
é sempre proporcional a
, isto é,
. Com isso queremos, dado
achar
.
Passo 2
Para (a) escrevemos primeiro o produto vetorial em coordenadas:
Agora derivamos cada componente em relação a
. Por exemplo, a primeira componente vira
e o mesmo procedimento vale para as outras duas componentes.
Passo 3
Reagrupando os termos de forma a separar as derivadas de
e as de
, obtemos
Mas o primeiro parêntese é exatamente
e o segundo é
. Logo
que era o que queríamos mostrar.
Passo 4
Agora em (b) sabemos que
e
são sempre paralelos, então
para todo
. Diferenciando isso e usando o resultado de (a) dá
Reordenando,
Em
isso vale