Resolva a equação de calor
em uma barra finita
a partir de uma fonte pontual
com condições de contorno livre
…
Passo 1
Temos a equação de calor
em
com condições de contorno de Neumann livre
e condição inicial pontual
. Vamos usar separação de variáveis e expansão em autofunções do operador Laplaciano com Neumann.
Passo 2
Buscamos autofunções
satisfazendo o problema de Sturm–Liouville
com
. As soluções são
Passo 3
Expandimos a condição inicial em série de Fourier na base
:
Logo
Passo 4
Cada modo evolui como
. Assim a solução geral é
Substituindo
,
e
e reescalando ficamos com a série em cossenos:
Resposta
[u(x,t) = \frac{1}{2\pi} + \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} e{-n{2}t}\cos(nx).]