Resolva a equação de calor ut=ux x em uma barra finita x in[-pi, pi] a partir de uma fonte pontual u0(x)=de com condições de contorno livre u^prime(pi, t)=u^prime(-pi, t)=0

Passo 1

Temos a equação de calor ut = uxx em [-pi,pi] com condições de contorno de Neumann livre ux(pmpi,t)=0 e condição inicial pontual u(x,0)=de. Vamos usar separação de variáveis e expansão em autofunções do operador Laplaciano com Neumann.

Passo 2

Buscamos autofunções phin(x) satisfazendo o problema de Sturm–Liouville
phin'' + lambdanphin = 0,
com phin'(pmpi)=0. As soluções são
phi0(x)=1raiz2pi,;lambda0=0;
phin(x)=1raizpicos(nx),;lambdan=n^2,;n=1,2,dots

Passo 3

Expandimos a condição inicial em série de Fourier na base phin:
u(x,0)=de
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c0=1raiz2pi, cn=1raizpi;(n>=1)

Passo 4

Cada modo evolui como e^-lambdan t. Assim a solução geral é
u(x,t)=sumn=0^infty cn,e^-lambdan t,phin(x)
Substituindo cn, phin e lambdan e reescalando ficamos com a série em cossenos:

Resposta

[u(x,t) = \frac{1}{2\pi} + \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} e{-n{2}t}\cos(nx).]

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