Sejam x1, x2 e x3 raízes da equação x^3-a x-16=0. Sendo a um número real, o valor de x1^3+x2^3+x3 é igual a:
(A) 32-a
(B) 48-2 a
© 48
(D) 48+2 a
(E) 32+a

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: Temos as raízes x1, x2, x3 da equação x^3 - a x - 16 = 0. O objetivo é calcular x1^3 + x2^3 + x3^3. Vamos usar relações de Viète e a fórmula para soma de cubos de raízes.

Passo 2

Pela forma padrão de um polinômio cúbico x^3 + px^2 + qx + r = 0, as somas das raízes satisfazem as identidades de Viète:
x1 + x2 + x3 = -p
x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = q
x1 x2 x3 = -r

Passo 3

No nosso caso, o polinômio é x^3 - a x - 16 = 0. Logo, comparando com x^3 + 0,x^2 - a x - 16:
x1 + x2 + x3 = 0
x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = -a
x1 x2 x3 = 16

Passo 4

Para soma dos cubos das raízes temos a identidade:
x1^3 + x2^3 + x3^3 = (x1 + x2 + x3)^3 - 3(x1 + x2 + x3)(x1 x2 + x1 x3 + x2 x3) + 3x1 x2 x3

Passo 5

Substituindo os valores: x1 + x2 + x3 = 0, x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = -a e x1 x2 x3 = 16:
x1^3 + x2^3 + x3^3 = 0^3 - 3cdot0cdot(-a) + 3cdot16 = 48

Resposta

48

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