Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto solução do sistema
, onde
não é subespago vetorial.
II - A imagem de uma reflexīo nāo é subespaço vetorial III -
não é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) So I é verdadeira.
(C) So II é verdadeira.
(D) Só I e II sāo verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III sāo verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas sāo verdadciras.
I - O conjunto solução do sistema
II - A imagem de uma reflexīo nāo é subespaço vetorial III -
(A) Todas são falsas.
(B) So I é verdadeira.
(C) So II é verdadeira.
(D) Só I e II sāo verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III sāo verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas sāo verdadciras.
Passo 1
O enunciado pede que eu verifique a veracidade de três afirmativas sobre subespaços vetoriais e transformações lineares, e escolha a alternativa correta entre as dadas. As afirmativas são:
I - O conjunto solução do sistema
, onde
, não é subespaço vetorial.
II - A imagem de uma reflexão não é subespaço vetorial.
III -
não é subespaço vetorial.
Informações relevantes dadas:
- Em I temos uma equação matricial linear com
. - Em II fala-se de uma reflexão (transformação geométrica).
- Em III é dado um subconjunto explícito de
definido por uma equação linear afim.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que significa ser um subespaço vetorial — isso é crucial para testar cada afirmativa.
Definição prática e teste rápido:
- Um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três coisas (podemos usar um teste reduzido): -
é não vazio. -
é fechado sob adição: se então . -
é fechado sob multiplicação por escalares: se e então .
-
- Um fato muito útil e simples: todo subespaço deve conter o vetor nulo
. Portanto, se então não é subespaço. Esse é o teste mais rápido em muitos problemas.
Vou usar esse critério (checar presença de
e fechamentos) nas afirmativas, e quando necessário explico por que.
Passo 3
Analisando a afirmativa I.
Observação teórica: o conjunto solução do sistema
(com
matriz e
vetor) tem duas possibilidades:
- Se o sistema for inconsistente, o conjunto solução é o conjunto vazio
. O conjunto vazio não é subespaço porque um subespaço deve conter (logo não pode ser vazio). - Se o sistema for consistente (existe pelo menos uma solução), então existe um particular
tal que . Nesse caso o conjunto de todas as soluções é que é um deslocamento (um conjunto afim) do núcleo . Esse conjunto afim não contém necessariamente ; de fato se então não é solução, porque . Logo não contém e portanto não é subespaço.
Conclusão para I: seja o sistema inconsistente (conjunto vazio) ou consistente com
(conjunto afim sem
), o conjunto solução NÃO é subespaço vetorial. Portanto a afirmativa I é verdadeira.
Exemplo concreto rápido para fixar: se
(matriz identidade) e
, a única solução é
. Esse conjunto
não contém
então não é subespaço.
Passo 4
Analisando a afirmativa II.
Primeiro, o que é uma reflexão em álgebra linear? Uma reflexão linear em relação a um subespaço
(por exemplo reflexão em torno de uma reta ou de um plano que passa pela origem) é uma transformação linear
com a propriedade que, escrevendo qualquer vetor
como
com
e
em um complemento, temos
Propriedades importantes:
- Essa reflexão é uma transformação linear (verificável por verificar
e ). - Além disso, a reflexão é inversível e, na prática, bijetiva: sua inversa é ela própria (
). Assim a imagem de é todo o espaço (porque bijetiva implica sobrejetiva). - Se a transformação é sobrejetiva, sua imagem
é o espaço inteiro , e é obviamente um subespaço vetorial.
Exemplo simples e concreto: reflexão em relação ao eixo
em
é dada pela matriz
A imagem dessa transformação é
inteira, que é subespaço.
Portanto, a afirmativa “A imagem de uma reflexão não é subespaço vetorial” é falsa — a imagem de uma reflexão linear (no sentido usual: reflexão em relação a um subespaço que passa pela origem) é todo o espaço e, assim, é um subespaço vetorial. Assim II é falsa.
(Observação: se alguém interpretasse “reflexão” de modo não-linear ou deslocada que não passa pela origem, aí não seria uma transformação linear; mas na álgebra linear a reflexão usual é linear e sua imagem é subespaço. Pelo contexto universitário essa é a interpretação correta.)]
Passo 5
Analisando a afirmativa III.
O conjunto dado é
Verifico a condição mais simples: presença do vetor nulo
.
- Para
temos e . A equação exigiria , que é falsa. Logo .
Como
, pelo critério do passo 2,
não pode ser subespaço vetorial. Assim a afirmativa III (que diz que esse conjunto não é subespaço) é verdadeira.
Também dá para ver por outra razão:
é um plano afim deslocado (é da forma
), não passa pela origem porque tem termo constante
; por isso não é subespaço.
Passo 6
Resumo dos resultados:
- I é verdadeira.
- II é falsa.
- III é verdadeira.
Isso corresponde à alternativa (F): “Só I e III são verdadeiras.”
Resposta
(F)