Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto solução do sistema A \vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b} \neq \overrightarrow{0} não é subespago vetorial.
II - A imagem de uma reflexīo nāo é subespaço vetorial III - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=4 z+4\right\} não é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) So I é verdadeira.
(C) So II é verdadeira.
(D) Só I e II sāo verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III sāo verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas sāo verdadciras.

Passo 1

O enunciado pede que eu verifique a veracidade de três afirmativas sobre subespaços vetoriais e transformações lineares, e escolha a alternativa correta entre as dadas. As afirmativas são:
I - O conjunto solução do sistema \,A\vec{x}=\vec{b}\,, onde \vec{b}\neq\overrightarrow{0}, não é subespaço vetorial.
II - A imagem de uma reflexão não é subespaço vetorial.
III - \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=4z+4\right\} não é subespaço vetorial.
Informações relevantes dadas:
  • Em I temos uma equação matricial linear com \vec{b}\neq\overrightarrow{0}.
  • Em II fala-se de uma reflexão (transformação geométrica).
  • Em III é dado um subconjunto explícito de \mathbb{R}^3 definido por uma equação linear afim.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que significa ser um subespaço vetorial — isso é crucial para testar cada afirmativa.
Definição prática e teste rápido:
  • Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três coisas (podemos usar um teste reduzido):
    1. W é não vazio.
    2. W é fechado sob adição: se u,v\in W então u+v\in W.
    3. W é fechado sob multiplicação por escalares: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in W.
  • Um fato muito útil e simples: todo subespaço deve conter o vetor nulo \overrightarrow{0}. Portanto, se \overrightarrow{0}\notin W então W não é subespaço. Esse é o teste mais rápido em muitos problemas.
Vou usar esse critério (checar presença de \overrightarrow{0} e fechamentos) nas afirmativas, e quando necessário explico por que.

Passo 3

Analisando a afirmativa I.
Observação teórica: o conjunto solução do sistema \,A\vec{x}=\vec{b}\, (com A matriz e \vec{b} vetor) tem duas possibilidades:
  • Se o sistema for inconsistente, o conjunto solução é o conjunto vazio \varnothing. O conjunto vazio não é subespaço porque um subespaço deve conter \overrightarrow{0} (logo não pode ser vazio).
  • Se o sistema for consistente (existe pelo menos uma solução), então existe um particular \vec{x}_p tal que A\vec{x}_p=\vec{b}. Nesse caso o conjunto de todas as soluções é \{\vec{x}_p + \vec{v} \mid \vec{v}\in\ker(A)\} = \vec{x}_p + \ker(A),que é um deslocamento (um conjunto afim) do núcleo \ker(A). Esse conjunto afim não contém necessariamente \overrightarrow{0}; de fato se \vec{b}\neq\overrightarrow{0} então \overrightarrow{0} não é solução, porque A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\neq\vec{b}. Logo não contém \overrightarrow{0} e portanto não é subespaço.
Conclusão para I: seja o sistema inconsistente (conjunto vazio) ou consistente com \vec{b}\neq\overrightarrow{0} (conjunto afim sem \overrightarrow{0}), o conjunto solução NÃO é subespaço vetorial. Portanto a afirmativa I é verdadeira.
Exemplo concreto rápido para fixar: se A=I (matriz identidade) e \vec{b}\neq\overrightarrow{0}, a única solução é \vec{x}=\vec{b}. Esse conjunto \{\vec{b}\} não contém \overrightarrow{0} então não é subespaço.

Passo 4

Analisando a afirmativa II.
Primeiro, o que é uma reflexão em álgebra linear? Uma reflexão linear em relação a um subespaço U (por exemplo reflexão em torno de uma reta ou de um plano que passa pela origem) é uma transformação linear R:V\to V com a propriedade que, escrevendo qualquer vetor v como v=u+w com u\in U e w em um complemento, temos
R(v)=u-w.
Propriedades importantes:
  • Essa reflexão é uma transformação linear (verificável por verificar R(v_1+v_2)=R(v_1)+R(v_2) e R(\alpha v)=\alpha R(v)).
  • Além disso, a reflexão é inversível e, na prática, bijetiva: sua inversa é ela própria ( R^{-1}=R). Assim a imagem de R é todo o espaço V (porque bijetiva implica sobrejetiva).
  • Se a transformação é sobrejetiva, sua imagem \mathrm{Im}(R) é o espaço inteiro V, e V é obviamente um subespaço vetorial.
Exemplo simples e concreto: reflexão em relação ao eixo x em \mathbb{R}^2 é dada pela matriz
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
A imagem dessa transformação é \mathbb{R}^2 inteira, que é subespaço.
Portanto, a afirmativa “A imagem de uma reflexão não é subespaço vetorial” é falsa — a imagem de uma reflexão linear (no sentido usual: reflexão em relação a um subespaço que passa pela origem) é todo o espaço e, assim, é um subespaço vetorial. Assim II é falsa.
(Observação: se alguém interpretasse “reflexão” de modo não-linear ou deslocada que não passa pela origem, aí não seria uma transformação linear; mas na álgebra linear a reflexão usual é linear e sua imagem é subespaço. Pelo contexto universitário essa é a interpretação correta.)]

Passo 5

Analisando a afirmativa III.
O conjunto dado é
S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=4z+4\right\}.
Verifico a condição mais simples: presença do vetor nulo \overrightarrow{0}=(0,0,0).
  • Para (0,0,0) temos y=0 e 4z+4=4. A equação exigiria 0=4, que é falsa. Logo \overrightarrow{0}\notin S.
Como \overrightarrow{0}\notin S, pelo critério do passo 2, S não pode ser subespaço vetorial. Assim a afirmativa III (que diz que esse conjunto não é subespaço) é verdadeira.
Também dá para ver por outra razão: S é um plano afim deslocado (é da forma \{(x,4z+4,z)\}), não passa pela origem porque tem termo constante +4; por isso não é subespaço.

Passo 6

Resumo dos resultados:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
  • III é verdadeira.
Isso corresponde à alternativa (F): “Só I e III são verdadeiras.”

Resposta

(F)

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