7 Sejam T1: R^2 R^2, T1(x, y)=(x-y, x+y) e T2: R^2 R^2, T2(x, y)=(-y, x). Encontre: T1+T2, T1 circ T2, T2 circ T1, T1^3, e T2^4

Passo 1

O enunciado define duas transformações lineares em R^2:
T1(x,y) = (x - y,;x + y), T2(x,y) = (-y,;x)
Pede-se o somatório T1+T2, as composições T1circ T2 e T2circ T1, bem como as potências T1^3 e T2^4.
Conteúdo: representação matricial de transformações lineares, soma de matrizes, produto de matrizes (composição) e potências de matrizes.

Passo 2

Vamos escrever e como matrizes e de acordo com a regra
Para temos
e para

Passo 3

Para T1+T2 somamos as matrizes:
A + B = 1 & -11 & 1 + 0 & -11 & 0 = 1 & -22 & 1
Logo,
(T1+T2)(x,y) = (,x-2y,;2x+y,)

Passo 4

Para T1circ T2 calculamos A,B:
A,B = 1 & -11 & 1 0 & -11 & 0 = -1 & -11 & -1
Assim
(T1circ T2)(x,y) = l(-x - y,;x - yr)

Passo 5

Para T2circ T1 calculamos B,A:
B,A = 0 & -11 & 0 1 & -11 & 1 = -1 & -11 & -1
Portanto
(T2circ T1)(x,y) = l(-x - y,;x - yr),
o mesmo de T1circ T2, ou seja, A e B comutam.

Passo 6

Para T1^3 precisamos de A^2 e A^3.
Primeiro
A^2 = 1 & -11 & 1^2 = 0 & -22 & 0
Em seguida
A^3 = A^2,A = 0 & -22 & 0 1 & -11 & 1 = -2 & -22 & -2
Logo
T1^3(x,y) = (-2x -2y,;2x -2y)

Passo 7

Para T2^4 note que B representa rotação de 90^circ, então
B^2 = -1 & 00 & -1 = -I, B^4 = (B^2)^2 = I
Assim
T2^4(x,y) = (x,y)

Resposta

T1+T2(x,y) = (x - 2y,;2x + y)
T1circ T2(x,y) = (-x - y,;x - y)
T2circ T1(x,y) = (-x - y,;x - y)
T1^3(x,y) = (-2x -2y,;2x -2y)
T2^4(x,y) = (x,y)

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