Verifique a posição relativa do plano
com as seguintes retas (caso sejam concorrentes, indique o ponto de interseção):
X=(1,1,1)+\lambda \cdot(1,4,2)
X=(1,1,1)+\lambda \cdot(1,4,2)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a posição relativa do plano
com a reta
Informações dadas:
- Equação do plano:
. - Ponto da reta:
. - Vetor diretor da reta:
.
A pergunta é se a reta intersecta o plano (concorrentes), é paralela e distinta, ou está contida no plano. Se houver interseção, devemos indicar o ponto.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): um plano em
pode ser escrito como
e o vetor normal ao plano é
. O vetor normal é perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano. Dado um vetor diretor
de uma reta, temos três possibilidades:
- Se
, a reta não é paralela ao plano e então intersecta o plano em exatamente um ponto (porque a reta tem uma componente na direção do normal). - Se
e um ponto da reta satisfaz a equação do plano, então a reta está contida no plano. - Se
e o ponto da reta não satisfaz a equação do plano, então a reta é paralela ao plano e não o intersecta.
Aqui vamos aplicar esse critério: primeiro identificar
e calcular o produto escalar
.
Passo 3
Identificamos o vetor normal do plano:
O vetor diretor da reta é
.
Agora calculamos o produto escalar (dot product). Lembre que o produto escalar é
Agora calculamos o produto escalar (dot product). Lembre que o produto escalar é
ou seja, multiplicamos coordenada a coordenada e somamos. Então
Como
, concluímos que a direção da reta é paralela ao plano (o vetor diretor é ortogonal ao normal).
Passo 4
Agora precisamos distinguir entre “reta contida no plano” e “reta paralela distinta”. Para isso verificamos se o ponto
da reta satisfaz a equação do plano. Substituímos
,
(não aparece em
na equação),
em
:
Como
, o ponto
não pertence ao plano.
Passo 5
Uma verificação alternativa, usando a parametrização da reta, reforça o resultado: um ponto genérico da reta é
Substituindo na equação do plano obtemos
A expressão não depende de
e é sempre
, logo não existe
que torne a equação igual a zero; portanto não há ponto de interseção.
Passo 6
Conclusão didática: visto que
(reta paralela ao plano) e o ponto base da reta não satisfaz a equação do plano, a reta é paralela ao plano e distinta (não coincidente). Não há interseção.
Resposta
A reta é paralela ao plano e não o intersecta.