Verifique a posição relativa do plano -6 x+3 z+24=0 com as seguintes retas (caso sejam concorrentes, indique o ponto de interseção):
X=(1,1,1)+\lambda \cdot(1,4,2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a posição relativa do plano -6x+3z+24=0 com a reta
X=(1,1,1)+\lambda\cdot(1,4,2).
Informações dadas:
  • Equação do plano: -6x+3z+24=0.
  • Ponto da reta: P_0=(1,1,1).
  • Vetor diretor da reta: v=(1,4,2).
    A pergunta é se a reta intersecta o plano (concorrentes), é paralela e distinta, ou está contida no plano. Se houver interseção, devemos indicar o ponto.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): um plano em \mathbb{R}^3 pode ser escrito como
ax+by+cz+d=0,
e o vetor normal ao plano é n=(a,b,c). O vetor normal é perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano. Dado um vetor diretor v de uma reta, temos três possibilidades:
  • Se n\cdot v\neq 0, a reta não é paralela ao plano e então intersecta o plano em exatamente um ponto (porque a reta tem uma componente na direção do normal).
  • Se n\cdot v=0 e um ponto da reta satisfaz a equação do plano, então a reta está contida no plano.
  • Se n\cdot v=0 e o ponto da reta não satisfaz a equação do plano, então a reta é paralela ao plano e não o intersecta.
Aqui vamos aplicar esse critério: primeiro identificar n e calcular o produto escalar n\cdot v.

Passo 3

Identificamos o vetor normal do plano:
n=(-6,0,3).
O vetor diretor da reta é v=(1,4,2).
Agora calculamos o produto escalar (dot product). Lembre que o produto escalar é
n\cdot v = n_x v_x + n_y v_y + n_z v_z,
ou seja, multiplicamos coordenada a coordenada e somamos. Então
n\cdot v = (-6)\cdot 1 + 0\cdot 4 + 3\cdot 2 = -6 + 0 + 6 = 0.
Como n\cdot v=0, concluímos que a direção da reta é paralela ao plano (o vetor diretor é ortogonal ao normal).

Passo 4

Agora precisamos distinguir entre “reta contida no plano” e “reta paralela distinta”. Para isso verificamos se o ponto P_0=(1,1,1) da reta satisfaz a equação do plano. Substituímos x=1, y=1 (não aparece em y na equação), z=1 em -6x+3z+24:
-6\cdot 1 + 3\cdot 1 + 24 = -6 + 3 + 24 = 21.
Como 21\neq 0, o ponto P_0 não pertence ao plano.

Passo 5

Uma verificação alternativa, usando a parametrização da reta, reforça o resultado: um ponto genérico da reta é
(1+\lambda,\;1+4\lambda,\;1+2\lambda).
Substituindo na equação do plano obtemos
-6(1+\lambda)+3(1+2\lambda)+24 = (-6+3+24) + \lambda(-6+6) = 21 + 0\cdot\lambda = 21.
A expressão não depende de \lambda e é sempre 21, logo não existe \lambda que torne a equação igual a zero; portanto não há ponto de interseção.

Passo 6

Conclusão didática: visto que n\cdot v=0 (reta paralela ao plano) e o ponto base da reta não satisfaz a equação do plano, a reta é paralela ao plano e distinta (não coincidente). Não há interseção.

Resposta

A reta é paralela ao plano e não o intersecta.

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