Sejam L1 e L2 as retas
r L1: x=1+4 t, y=5-4 t, z=-1+5 t e L2: x=2+8 t, y=4-3 t, z=5+t
As retas são paralelas? Se intersectam?

Passo 1

O enunciado dá as retas L1 e L2 em forma paramétrica no espaço e pede para verificarmos se elas são paralelas ou se se intersectam. O conteúdo é geometria analítica em R^3, e vamos precisar extrair os vetores diretores, testar colinearidade e, em seguida, tentar resolver o sistema que iguala as coordenadas para ver se há ponto em comum.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de cada reta. Para
L1: x=1+4t,;y=5-4t,;z=-1+5t
o vetor diretor é
v1=lang<=4,,-4,,5rang<=
Para
L2: x=2+8u,;y=4-3u,;z=5+u
(o parâmetro foi rebatizado para u) o vetor diretor é
v2=lang<=8,,-3,,1rang<=

Passo 3

Testamos se existe lambda tal que v2=lambda,v1. Isso dá o sistema
8=4lambda, -3=-4lambda, 1=5lambda
Da primeira equação segue lambda=2, mas na segunda teríamos -3=-8, o que é falso. Logo não há lambda comum, e as retas não são paralelas.

Passo 4

Para ver se se intersectam, igualamos as coordenadas de
Das duas primeiras equações obtemos
Somando-as vem . Mas na terceira equação teríamos
o que é inconsistente. Então não há ponto em comum.

Resposta

As retas não são paralelas e não se intersectam (são retas reversas).

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