Questão - 14. Suponha que durante um certo período do ano, a temperatura T, em graus Celsius, na superfície de um lago possa ser descrita pela função f(t)=21-4 cdot cos (pi t12), sendo t o tempo em hora medido a partir das 6 h da manhã.
(a) Qual a variação de temperatura num período de 24 horas?
(b) A que horas do dia a temperatura atingirá 23^circ C

Passo 1

O enunciado dá a temperatura na superfície de um lago como
f(t)=21 - 4cos!l(tfracpi t12r),
onde t é o número de horas passadas desde as 6 h da manhã. Vamos usar propriedades de funções cosseno (amplitude e valor médio) para encontrar a variação em 24 h e resolver a equação f(t)=23 para achar os instantes em que a temperatura atinge 23^circC.

Passo 2

Uma função do tipo
f(t)=A + Bcos(omega t)
atinge valor máximo A+|B| e mínimo A-|B|. Aqui A=21 e B=-4, logo a amplitude é |B|=4. Portanto
fmax=21+4=25,
fmin=21-4=17

Passo 3

A variação de temperatura num período de 24 horas é a diferença entre o máximo e o mínimo:
De<a T = fmax-fmin=25-17=8;(^circC)

Passo 4

Para achar os instantes em que f(t)=23, resolvemos
21 - 4cos!l(tfracpi t12r)=23
-4cos!l(tfracpi t12r)=2
cos!l(tfracpi t12r)=-tfrac12
As soluções gerais de cos x=-tfrac12 são
x=tfrac2pi3+2kpi ou x=tfrac4pi3+2kpi, kinZ

Passo 5

Igualando x=tfracpi t12 nas fórmulas acima, obtemos
tfracpi t12=tfrac2pi3+2kpiRightarrow t=8+24k,
tfracpi t12=tfrac4pi3+2kpiRightarrow t=16+24k
No intervalo de 0<= t<=24 só cabem k=0, dando t=8 h e t=16 h após as 6 h da manhã.
Assim, os horários são
6h+8h=14he6h+16h=22h

Resposta

(a) A variação é 8^circC.
(b) A temperatura atinge 23^circC às 14 h e às 22 h.

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