Determine a matriz na base canônica de uma transformação linear T: R^3 R^3 que leva o plano pi: x-y+2 z=0 na reta r:(x, y, z)=t(2,1,0).

Passo 1

O enunciado pede uma aplicação linear
,T:R^3toR^3
tal que o plano
pi:x - y + 2z=0
vire a reta
r=t(2,1,0)mid tinR.
Isto equivale a exigir que
ker T=pi
e
ImT=r.

Passo 2

Uma forma geral de construir T com núcleo igual a pi e imagem igual a r é
T(v)=varphi(v),u
onde varphi:R^3toR é um funcional linear com kervarphi=pi e u é um vetor diretor de r.

Passo 3

Como pi é dado por x - y + 2z = 0, seu vetor normal é
n = (1, -1, 2),
logo podemos escolher
varphi(x, y, z) = x - y + 2z,
pois varphi(x, y, z) = 0 exatamente em pi.

Passo 4

Um vetor diretor de r é u=(2,1,0). Assim definimos
T(x,y,z)=l(x - y + 2zr),(2,1,0)

Passo 5

Para achar a matriz de T na base canônica, escrevemos T(x,y,z) como
T(x,y,z) =(x,y,z), 210 l(1;-1;2r) =(x,y,z), underbrace 2cdot1 & 2cdot(-1) & 2cdot2 1cdot1 & 1cdot(-1) & 1cdot2 0cdot1 & 0cdot(-1) & 0cdot2 M

Resposta

M= 2 & -2 & 4 1 & -1 & 2 0 & 0 & 0

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