Sejam r1 e r2 as retas
r1:lx=3+t y=-5 z=2+b t ; t in R e r2:lx=1-a s y=-3-2 s ; z=4 s s in R.
Analise todas as possibilidades para a posição relativa entre essas retas. Determine as relações entre os números a e b para que as retas r1 e r2 sejam:
reversas.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica:
e
(r_{2}]:

O conteúdo é posição relativa de retas no espaço. Para serem reversas (skew), elas não podem ser paralelas nem ter ponto em comum.

Passo 2

Primeiro, vamos extrair os vetores diretores e um ponto de cada reta:
– Para r1, o ponto P=(3,-5,2) e o vetor diretor v1=(1,0,b).
– Para r2, o ponto Q=(1,-3,0) e o vetor diretor v2=(-a,-2,4).
Elas seriam paralelas se v1 fosse múltiplo escalar de v2. Mas como v1 tem segunda componente 0 e v2 tem segunda componente -2neq0, não existe lambda tal que v1=lambda,v2. Logo, elas nunca são paralelas para nenhum a,b.

Passo 3

Agora, para ver se se intersectam, igualamos P+t,v1 = Q+s,v2. Isso gera o sistema
3 + t = 1 - a,s, -5 = -3 - 2s, 2 + b,t = 4s

Passo 4

Da segunda equação temos
-5 = -3 - 2s Longrightarrow -2 = -2s Longrightarrow s = 1
Substituindo em 3 + t = 1 - a,s
3 + t = 1 - a Longrightarrow t = -2 - a
Por fim, em 2 + b,t = 4s obtemos
2 + b(-2 - a) = 4Longrightarrow b(-2 - a) = 2Longrightarrow b = -2a + 2,
desde que a + 2 neq 0. Se a=-2 o sistema é inconsistente, logo não há interseção.

Passo 5

Resumo das interseções:
– Se aneq -2 e b = -tfrac2a+2, as retas têm um ponto em comum (são secantes).
– Em qualquer outro caso (isto é, a=-2 ou b neq -tfrac2a+2), não se intersectam.

Passo 6

Como já vimos que não há paralelismo para nenhum a,b, o caso “reversas” (skew) ocorre sempre que não houver interseção. Portanto a condição para serem reversas é exatamente
b neq -2a + 2

Resposta

As retas r1 e r2 são reversas se, e somente se,
b neq -2a + 2

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