Se , determine det[ccca11+a21 k & a12+a22 k & a13+a23 k a31 & a32 & a33 a11 k-a21 & a12 k-a22 & a13 k-a23], onde k é um número real qualquer, sem calcular os determinantes envolvidos (use as propriedades de determinante).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de determinantes de matrizes 3x3. A gente sabe que o determinante da matriz original A é -2. Nosso objetivo é descobrir o determinante de uma nova matriz B, que é uma versão modificada de A usando um número real k. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades dos determinantes que facilitam a nossa vida sem precisar calcular tudo do zero.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a matriz B:
B = a11 + a21 k & a12 + a22 k & a13 + a23 k a31 & a32 & a33 a11 k - a21 & a12 k - a22 & a13 k - a23
Perceba que a primeira linha de B é a soma da primeira linha de A com k vezes a segunda linha de A. A terceira linha de B é k vezes a primeira linha de A menos a segunda linha de A.
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade de linearidade dos determinantes em relação às linhas. Isso significa que se você tem uma linha que é uma combinação linear de outras linhas, podemos simplificar o cálculo do determinante.
Para a primeira linha de B, temos:
Linha 1 de B = Linha 1 de A + k cdot Linha 2 de A
E para a terceira linha de B:
Linha 3 de B = k cdot Linha 1 de A - Linha 2 de A
Passo 4
Uma estratégia útil aqui é realizar operações de linha que simplifiquem a matriz sem alterar o determinante ou de maneira que a alteração seja fácil de acompanhar.
Vamos substituir a terceira linha de B por uma combinação linear que facilite o cálculo:
Linha 3 de B = k cdot Linha 1 de A - Linha 2 de A
Agora, observamos que essa operação pode ser vista como a aplicação de uma transformação linear que envolve multiplicação e subtração de linhas, o que afeta o determinante de uma maneira específica.
Passo 5
Sabemos que multiplicar uma linha de uma matriz por um escalar k multiplica o determinante por k. Além disso, adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra não altera o determinante.
Aplicando isso à nossa matriz B, podemos ver que:
A primeira linha foi modificada adicionando k vezes a segunda linha, o que não altera o determinante.
A terceira linha foi substituída por k vezes a primeira linha menos a segunda linha. Essa operação é similar a adicionar k vezes uma linha a outra, então o determinante será multiplicado por k devido à multiplicação.
Passo 6
Portanto, o determinante de B será o determinante da matriz original A multiplicado por k: