Determine o ângulo entre os vetores
Passo 1
O enunciado pede: determinar o ângulo entre dois vetores no espaço.
As informações dadas (peguei do enunciado) são os dois vetores:
As informações dadas (peguei do enunciado) são os dois vetores:
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática e direta): o produto escalar (ou produto interno) de dois vetores
e
é definido por
Esse produto tem uma interpretação geométrica muito útil: ele relaciona os comprimentos (normas) dos vetores com o cosseno do ângulo
entre eles:
Aqui
é a norma (comprimento) de
, dada por
Resumo prático: para achar
faça (1) calcule
, (2) calcule
e
, (3) use
e então
. Se o produto escalar for negativo, o ângulo é obtuso (>
); se for positivo, é agudo (<
).
Passo 3
Calcular o produto escalar
com os componentes dados:
Agora desenvolvendo termo a termo:
Somando:
Passo 4
Calcular as normas separadamente.
Para
:
Para
:
Passo 5
Aplicar a fórmula do cosseno do ângulo:
Juntando as raízes:
Note que
, logo
. Portanto
Observação rápida (interpretação): o valor do produto escalar é negativo (
), então o ângulo é obtuso (maior que
).
Passo 6
Obter o ângulo
por arco cosseno:
Isso é a expressão exata. Para ter uma ideia numérica, podemos aproximar
. Usando
(tabela ou calculadora rápida),
logo
Sabendo que
e
, podemos interpolar para
; como nosso cosseno é negativo,
. Em radianos isso é aproximadamente