Determine o ângulo entre os vetores
\vec{u}=(2,-1,3) \in \vec{E}=(1,4,-2) .

Passo 1

O enunciado pede: determinar o ângulo entre dois vetores no espaço.
As informações dadas (peguei do enunciado) são os dois vetores:
\vec{u}=(2,-1,3)
\vec{v}=(1,4,-2)

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática e direta): o produto escalar (ou produto interno) de dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é definido por
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Esse produto tem uma interpretação geométrica muito útil: ele relaciona os comprimentos (normas) dos vetores com o cosseno do ângulo \theta entre eles:
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta.
Aqui \|\vec{a}\| é a norma (comprimento) de \vec{a}, dada por
\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
Resumo prático: para achar \theta faça (1) calcule \vec{u}\cdot\vec{v}, (2) calcule \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|, (3) use \cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} e então \theta=\operatorname{arccos}(\cdot). Se o produto escalar for negativo, o ângulo é obtuso (> 90^\circ); se for positivo, é agudo (< 90^\circ).

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} com os componentes dados:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot1+(-1)\cdot4+3\cdot(-2).
Agora desenvolvendo termo a termo:
2\cdot1=2,\qquad (-1)\cdot4=-4,\qquad 3\cdot(-2)=-6.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2-4-6=-8.

Passo 4

Calcular as normas separadamente.
Para \vec{u}=(2,-1,3):
\|\vec{u}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}.
Para \vec{v}=(1,4,-2):
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+4^2+(-2)^2}=\sqrt{1+16+4}=\sqrt{21}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do cosseno do ângulo:
\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}=\dfrac{-8}{\sqrt{14}\,\sqrt{21}}.
Juntando as raízes:
\sqrt{14}\,\sqrt{21}=\sqrt{14\cdot21}=\sqrt{294}.
Note que 294=49\cdot6, logo \sqrt{294}=7\sqrt{6}. Portanto
\cos\theta=\dfrac{-8}{7\sqrt{6}}.
Observação rápida (interpretação): o valor do produto escalar é negativo ( -8), então o ângulo é obtuso (maior que 90^\circ).

Passo 6

Obter o ângulo \theta por arco cosseno:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{-8}{7\sqrt{6}}\right).
Isso é a expressão exata. Para ter uma ideia numérica, podemos aproximar \dfrac{-8}{7\sqrt{6}}. Usando \sqrt{6}\approx2,4494897 (tabela ou calculadora rápida),
7\sqrt{6}\approx17,1464282, \qquad \dfrac{8}{7\sqrt{6}}\approx0,4663007,
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\cos\theta\approx-0,4663007.
Sabendo que \cos 60^\circ=0,5 e \cos 63^\circ\approx0,4540, podemos interpolar para \cos^{-1}(0,4663)\approx62,2^\circ; como nosso cosseno é negativo, \theta\approx180^\circ-62,2^\circ=117,8^\circ. Em radianos isso é aproximadamente
\theta\approx2,06\\ \text{rad}.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{-8}{7\sqrt{6}}\right)\approx117,8^\circ

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