Sejam T: V \rightarrow V e S: W \rightarrow W operadores lineares, onde [T]_{B}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 5 & 2 \\\\ -1 & 3 & 2\end{array}\right] e [S]_{C}=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & -1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right], para determinadas bases B e C de V e W, respectivamente. Procure observar neste exercício as seguintes propriedades:
Se um operador admite \lambda=0 como autovalor, então T não é invertível.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes que representam operadores lineares em bases escolhidas e pede para observar propriedades relacionadas a autovalores e invertibilidade. Informações concretas fornecidas:
Perguntas/objetivos implícitos que vamos responder: encontrar os autovalores de T e de S; verificar se algum deles é \lambda=0; usar essa informação para decidir se T e S são invertíveis; e explicar didaticamente por que a presença de \lambda=0 impede invertibilidade. Não há outras informações (como bases explícitas) e isso não é necessário para responder às perguntas pedidas.]
Passo 2
Conceitos-chave que vamos usar (curtinho e direto, explicando as letras):
Autovalor: \lambda é autovalor de um operador A se existe vetor não nulo v tal que A(v)=\lambda v. Em termos de matriz, \lambda é autovalor de uma matriz M se \det(M-\lambda I)=0.
Matriz triangular (superior ou inferior): seus autovalores são exatamente as entradas da diagonal. Aqui [S]_C é triangular superior, então seus autovalores são as entradas diagonais.
Determinante e autovalores: o determinante de uma matriz é o produto dos seus autovalores (contados com multiplicidade). Em particular, se algum autovalor for 0, o determinante é 0.
Invertibilidade: uma matriz (ou operador linear em espaço de dimensão finita) é invertível se, e somente se, seu determinante é diferente de 0. Equivalentemente, é invertível se, e somente se, 0 não é autovalor.
Vou aplicar esses conceitos passo a passo às duas matrizes.
Passo 3
Analisando [S]_C (matriz triangular): como é matriz triangular superior, os autovalores são as entradas da diagonal. Portanto:
\text{autovalores de }S \text{ são } \lambda_1=1,\;\lambda_2=-1,\;\lambda_3=3,\;\lambda_4=2.ã
Explicando rápido por que: para matriz triangular M, \det(M-\lambda I) se torna produto das entradas diagonais de M-\lambda I, que são m_{ii}-\lambda. Assim a equação característica é \prod_i (m_{ii}-\lambda)=0, o que dá m_{ii} como raízes.
Passo 4
Determinante e invertibilidade de S: produto dos autovalores = determinante. Calculamos
\det([S]_C)=1\cdot(-1)\cdot 3\cdot 2 = -6.
Como \det([S]_C)=-6\neq 0, concluímos que S é invertível. Observação ligada ao enunciado: 0 NÃO aparece entre os autovalores de S, logo isso confirma a propriedade mencionada (se aparecesse, não seria invertível).
Passo 5
Agora vamos para [T]_B. Aqui não é triangular automaticamente, então precisamos calcular o polinômio característico \det([T]_B-\lambda I). Escrevendo explicitamente
Confirmação prática: \det([T]_B)=5\neq 0, então T é invertível.
Passo 11
Explicação didática e curta do porquê da afirmação pedida no enunciado: “Se um operador admite \lambda=0 como autovalor, então T não é invertível.”
Raciocínio passo a passo:
\lambda=0 ser autovalor significa que existe vetor não-nulo v com T(v)=0.
Isso diz que \ker(T) contém um vetor não-nulo, logo \ker(T)\neq\{0\}. Portanto T não é injetivo.
Em espaços vetoriais de dimensão finita, injetividade é equivalente a sobrejetividade; assim, se T não é injetivo então não é bijetivo, logo não possui inversa linear, isto é, não é invertível.
Alternativamente via determinante: se 0 é autovalor, então produto dos autovalores (determinante) é zero, logo matriz singular e não invertível.
Passo 12
Resumo final dos resultados (pronto para memorizar na prova):
Autovalores e invertibilidade de S: autovalores \;1,-1,3,2. Como nenhum é 0 e \det([S]_C)=-6\neq 0, S é invertível.
Autovalores e invertibilidade de T: autovalores \;1,\dfrac{7+\sqrt{29}}{2},\dfrac{7-\sqrt{29}}{2}. Como nenhum é 0 e \det([T]_B)=5\neq 0, T é invertível.
Observação conceitual: se algum autovalor fosse 0, o operador correspondente não seria invertível (explicação por núcleo não trivial e por determinante nulo).
Resposta
T: autovalores 1,\dfrac{7+\sqrt{29}}{2},\dfrac{7-\sqrt{29}}{2}. T é invertível (pois \det([T]_B)=5\neq 0).\nS: autovalores 1,-1,3,2. S é invertível (pois \det([S]_C)=-6\neq 0).