Dê exemplos de:
Um operador linear em \mathbb{R}^{3} que satisfaça todas as condições a seguir:
(i) T é diagonalizável;
(ii) T não é injetora;
(iii) T(v) \neq v, para qualquer vetor não nulo;
(iv) \lambda=2 é autovalor de T;
(v) v_{0}=(1,0,-1) é autovetor de T;
(vi) T\left(v_{0}\right) \neq v_{0};
Passo 1
O enunciado pede um exemplo concreto de um operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} que satisfaça simultaneamente as seis condições abaixo (vou listar cada uma claramente):
\text{(i) } T \text{ é diagonalizável};
\text{(ii) } T \text{ não é injetora};
\text{(iii) } T(v)\neq v\\ \text{para todo vetor não nulo } v;
\text{(iv) } \lambda=2 \text{ é autovalor de } T;
\text{(v) } v_{0}=(1,0,-1) \text{ é autovetor de } T;
\text{(vi) } T\bigl(v_{0}\bigr)\neq v_{0}.
Essas são as condições que temos de satisfazer ao construir T. A resolução começa agora.
Passo 2
Ideia geral (curta, só para orientar): construir T definindo explicitamente três autovetores linearmente independentes (assim T será diagonalizável) com autovalores escolhidos para cumprir as condições. Em particular:
Para garantir (iv) e (v) tomo v_{0}=(1,0,-1) como autovetor de autovalor 2, ou seja T(v_{0})=2v_{0}.
Para garantir (ii) quero que 0 seja autovalor (então \ker T\neq\{0\} e T não é injetora).
Para garantir (iii) preciso que 1 não seja autovalor.
Escolho, portanto, o conjunto de autovalores \{2,0,-1\} (nenhum é 1, inclui 0 e inclui 2). Vou escolher autovetores correspondentes que sejam linearmente independentes.
Passo 3
Escolha explícita de autovetores:
v_{0}=(1,0,-1)\quad\text{(autovalor }2\text{)},
u=(1,0,1)\quad\text{(autovalor }0\text{)},
w=(0,1,0)\quad\text{(autovalor }-1\text{)}.
Verifico que v_{0},u,w são linearmente independentes. Se
Da segunda equação \gamma=0. Das outras duas: \beta=\alpha e \alpha+\beta=2\alpha=0 implica \alpha=0 e \beta=0. Logo somente a combinação trivial, então são independentes. Assim \{v_{0},u,w\} é base de \mathbb{R}^{3}.
Passo 4
Defino T pela ação sobre essa base de autovetores:
T(v_{0})=2v_{0},
T(u)=0\cdot u=(0,0,0),
T(w)=-1\cdot w=-w.
Como tenho três autovetores linearmente independentes que geram \mathbb{R}^{3}, T é diagonalizável (condição (i) satisfeita): na base \{v_{0},u,w\} a matriz de T é diagonal
Agora quero a matriz de T na base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3}\}. Para isso escrevo cada e_{i} como combinação linear de v_{0},u,w e uso linearidade de T.
Para e_{1}=(1,0,0) procuro \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha v_{0}+\beta u+\gamma w = (\alpha+\beta,\\ \gamma,\\\ -\alpha+\beta) = (1,0,0).
Daí \gamma=0, -\alpha+\beta=0\Rightarrow\beta=\alpha, e \alpha+\beta=1\Rightarrow 2\alpha=1\Rightarrow \alpha=\tfrac12,\\ \beta=\tfrac12.
Logo
Das duas primeiras obtemos \beta=\alpha e 2\alpha=0 não; vamos resolver: -\alpha+\beta=1 e \beta=\alpha implicam -\alpha+\alpha=0=1, então percebemos que meu raciocínio foi apressado — refaço a solução corretamente: do sistema
\alpha+\beta=0,\quad -\alpha+\beta=1,
subtraindo a primeira da segunda: (- \alpha+\beta)-(\alpha+\beta)=1-0 \Rightarrow -2\alpha=1 \Rightarrow \alpha=-\tfrac12. Então \beta=-\alpha=\tfrac12. E \gamma=0.
Logo