Sejam T: V \rightarrow V e S: W \rightarrow W operadores lineares, onde [T]_{B}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 5 & 2 \\\\ -1 & 3 & 2\end{array}\right] e [S]_{C}=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & -1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right], para determinadas bases B e C de V e W, respectivamente. Procure observar neste exercício as seguintes propriedades:
Se ao invés das matrizes acima, tivéssemos a sua transposta, os autovalores permaneceriam os mesmos.
Passo 1
O enunciado fornece duas matrizes que representam operadores lineares em certas bases:
A observação pedida é: se em vez dessas matrizes tivéssemos suas transpostas, os autovalores permaneceriam os mesmos.
O que vamos fazer: calcular (explicitamente) os autovalores de [T]_B e de [S]_C, e então justificar por que a transposta tem os mesmos autovalores.]
Passo 2
O que é autovalor e como achá-lo (aulas rápidas e práticas).
Definição: \lambda é autovalor de uma matriz A se existe vetor não-nulo v tal que A v = \lambda v. Equivalentemente, \lambda satisfaz
\det(A - \lambda I)=0,
que é o polinômio característico. Aqui I é a matriz identidade do mesmo tamanho de A. Na prática: calculamos \det(A-\lambda I), obtemos um polinômio em \lambda, e resolvemos as raízes desse polinômio.
Passo 3
Autovalores de [S]_C (matriz triangular).
Observação importante e muito útil na prova: se uma matriz é triangular (superior ou inferior), o determinante dela é o produto dos elementos da diagonal. Assim, para S temos
Queremos \det(T-\lambda I)=0. Vamos calcular o determinante por expansão pela primeira linha (ou qualquer outra forma equivalente), explicando cada menor.]
Passo 5
Cálculo do determinante de [T]_B-\lambda I com cuidado nas contas.
Expandindo pela primeira linha:
Por que a transposta tem os mesmos autovalores? (explicação conceitual e simples)
A razão chave é que o polinômio característico é dado por \det(A-\lambda I). Para qualquer matriz A vale a identidade
porque o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta. Logo A e A^T têm exatamente o mesmo polinômio característico, portanto as mesmas raízes e, portanto, os mesmos autovalores (com multiplicidades algébricas iguais). Observação complementar: os autovetores podem mudar — a propriedade vale para autovalores, não garante que os autovetores sejam os mesmos.
Passo 8
Conclusão aplicada ao exercício: os autovalores de [T]_B e de [S]_C que calculamos permanecem iguais se tomarmos [T]_B^T e [S]_C^T. No caso de [S]_C, como ela é triangular superior, sua transposta é triangular inferior com a mesma diagonal, o que dá a mesma conclusão imediatamente; no caso de [T]_B usamos cálculo explícito do polinômio característico e a propriedade geral acima garante que a transposta terá o mesmo polinômio e, portanto, os mesmos autovalores.
Resposta
Autovalores de [T]_B: \;1,\;\dfrac{7+\sqrt{29}}{2},\;\dfrac{7-\sqrt{29}}{2}.
Autovalores de [S]_C: \;1,\;-1,\;3,\;2.
Sim — as matrizes transpostas [T]_B^{T} e [S]_C^{T} mantêm exatamente os mesmos autovalores que as originais.