Sejam
e
valores reais, e seja
a função
Calcular os vetores
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função que mapeia pontos de um retângulo no plano
para o espaço tridimensional
. Nosso objetivo aqui é encontrar os vetores que representam como a função muda quando a gente varia uma das variáveis, ou seja, calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais em funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Aqui,
e
são constantes, e
e
são as variáveis. Essa função é uma parametrização de um toro, que é uma espécie de rosquinha no espaço 3D.
Passo 3
Agora, para encontrar
, precisamos derivar cada componente de
em relação a
, mantendo
constante. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 4
Primeira componente de
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Segunda componente de
:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Terceira componente de
:
Derivando em relação a
:
Porque
não depende de
, apenas de
.
Passo 7
Então, juntando tudo, o vetor derivado em relação a
é:
Passo 8
Agora, vamos calcular
. Isso significa derivar cada componente de
em relação a
, mantendo
constante.
Passo 9
Primeira componente de
:
Derivando em relação a
:
Passo 10
Segunda componente de
:
Derivando em relação a
:
Passo 11
Terceira componente de
:
Derivando em relação a
:
Passo 12
Assim, o vetor derivado em relação a
é:
Resposta
Os vetores das derivadas parciais são:
e