Sejam S=[0,2 pi] times[0,2 pi] e 0 valores reais, e seja f: S R^3 a função
f(u, v)=((a+r cos v) cos u,(a+r cos v) sen u, r sen v)
Calcular os vetores partial fpartial u e partial fpartial v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função que mapeia pontos de um retângulo no plano (u, v) para o espaço tridimensional R^3. Nosso objetivo aqui é encontrar os vetores que representam como a função muda quando a gente varia uma das variáveis, ou seja, calcular as derivadas parciais de f em relação a u e a v. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais em funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
f(u, v) = ( (a + r cos v) cos u, (a + r cos v) sin u, r sin v )
Aqui, a e r são constantes, e u e v são as variáveis. Essa função é uma parametrização de um toro, que é uma espécie de rosquinha no espaço 3D.

Passo 3

Agora, para encontrar partial fpartial u, precisamos derivar cada componente de f em relação a u, mantendo v constante. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 4

Primeira componente de f:
x(u, v) = (a + r cos v) cos u
Derivando em relação a u:
partial xpartial u = - (a + r cos v) sin u

Passo 5

Segunda componente de f:
y(u, v) = (a + r cos v) sin u
Derivando em relação a u:
partial ypartial u = (a + r cos v) cos u

Passo 6

Terceira componente de f:
z(u, v) = r sin v
Derivando em relação a u:
partial zpartial u = 0
Porque z não depende de u, apenas de v.

Passo 7

Então, juntando tudo, o vetor derivado em relação a u é:
partial fpartial u = ( - (a + r cos v) sin u, (a + r cos v) cos u, 0 )

Passo 8

Agora, vamos calcular partial fpartial v. Isso significa derivar cada componente de f em relação a v, mantendo u constante.

Passo 9

Primeira componente de f:
x(u, v) = (a + r cos v) cos u
Derivando em relação a v:
partial xpartial v = - r sin v cos u

Passo 10

Segunda componente de f:
y(u, v) = (a + r cos v) sin u
Derivando em relação a v:
partial ypartial v = - r sin v sin u

Passo 11

Terceira componente de f:
z(u, v) = r sin v
Derivando em relação a v:
partial zpartial v = r cos v

Passo 12

Assim, o vetor derivado em relação a v é:
partial fpartial v = ( - r sin v cos u, - r sin v sin u, r cos v )

Resposta

Os vetores das derivadas parciais são:
partial fpartial u = ( - (a + r cos v) sin u, (a + r cos v) cos u, 0 )
e
partial fpartial v = ( - r sin v cos u, - r sin v sin u, r cos v )

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