Considere f(x)=x^6 e a in R tais que lim h 0 (2+h)^6-64h=f^prime(a). O valor de f(-2)8 a é igual a:
Escolha uma opção:
a. 64
b. 8
C. 4
d. 1
e. 32

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Temos a função $ f(x) = x^{6} $ e um número real $ a $ que satisfaz a condição $ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(2+h)^{6} - 64}{h} = f^{\prime}(a) $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ \frac{f(-2)}{8a} $. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) = x^{6} $. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $. Usando a regra do poder, a derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $. Portanto:
f(x) = x^6

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite dado no enunciado:
limh 0 (2+h)^6 - 64h
Observamos que $ 64 = 2^{6} $, então podemos reescrever o limite como:
64 = 2^6
Este limite representa a derivada de $ f(x) $ no ponto $ x = 2 $. Ou seja:
limh 0 (2+h)^6 - 2^6h
Sabemos que $ f^{\prime}(a) = f^{\prime}(2) $, então:
f(x)
Como $ f^{\prime}(a) = 192 $, podemos resolver para $ a $:
x = 2

Passo 4

Finalmente, vamos calcular $ \frac{f(-2)}{8a} $. Primeiro, encontramos $ f(-2) $:
f(-2)8a
Sabemos que $ a = 2 $, então:
f(-2)

Resposta

A resposta correta é a opção C. 4.

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