Considere
e
tais que
. O valor de
é igual a:
Escolha uma opção:
a. 64
b. 8
C. 4
d. 1
e. 32
Escolha uma opção:
a. 64
b. 8
C. 4
d. 1
e. 32
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Temos a função $ f(x) = x^{6} $ e um número real $ a $ que satisfaz a condição $ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(2+h)^{6} - 64}{h} = f^{\prime}(a) $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ \frac{f(-2)}{8a} $. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) = x^{6} $. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $. Usando a regra do poder, a derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite dado no enunciado:
Observamos que $ 64 = 2^{6} $, então podemos reescrever o limite como:
Este limite representa a derivada de $ f(x) $ no ponto $ x = 2 $. Ou seja:
Sabemos que $ f^{\prime}(a) = f^{\prime}(2) $, então:
Como $ f^{\prime}(a) = 192 $, podemos resolver para $ a $:
Passo 4
Finalmente, vamos calcular $ \frac{f(-2)}{8a} $. Primeiro, encontramos $ f(-2) $:
Sabemos que $ a = 2 $, então:
Resposta
A resposta correta é a opção C. 4.