Seja
um espaço vetorial sobre
de dimensão finita. Se
e
são subespaços de
então
◯ Verdadeiro
◯ Falso
◯ Falso
Passo 1
O enunciado diz: seja
um espaço vetorial real de dimensão finita e
e
subespaços de
. A afirmação a avaliar é
Dados relevantes:
-
é de dimensão finita (isso permite falar em bases finitas e estender conjuntos linearmente independentes a bases). -
e são subespaços de .
O que se pede: decidir se a igualdade acima é verdadeira ou falsa e justificar (mostrar) a razão.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): vamos provar a igualdade construindo bases apropriadas. A ideia clássica é:
- tomar uma base de
, - estender essa base a uma base de
e a uma base de , - mostrar que a união desses vetores forma uma base de
, - contar quantos vetores há em cada base e obter a igualdade das dimensões.
Vou explicar cada passo com calma e sem pular etapas.
Passo 3
Começamos escolhendo uma base do espaço
. Como
é subespaço de
e
tem dimensão finita,
também tem dimensão finita. Seja
uma base de
. Aqui
. Isso significa duas coisas:
- os vetores
são linearmente independentes; - todo vetor de
é combinação linear de .
Passo 4
Agora estendemos essa base a uma base de
. A propriedade usada é: em espaço vetorial de dimensão finita todo conjunto linearmente independente pode ser estendido a uma base. Portanto existe uma sequência de vetores
em
tal que
é uma base de
. Logo
Interpretação: os
acrescentam as direções de
que não estão em
.
Passo 5
De forma análoga, estendemos a mesma base de
a uma base de
. Assim existem vetores
em
tal que
é uma base de
. Portanto
Os
representam as direções de
que não estão em
.
Passo 6
Agora vamos associar essas três listas de vetores e estudar o subespaço
. Considere a lista unida
Primeiro mostramos que essa lista gera
. Tomemos um vetor qualquer
. Por definição existe
e
tais que
. Como
é base de
, podemos escrever
Como
é base de
, podemos escrever
Somando,
ou seja,
é combinação linear dos vetores da lista unida. Portanto a lista gera
.
Passo 7
Agora mostramos que a lista unida é linearmente independente. Suponha que exista uma combinação linear nula:
Reagrupando, obtemos
O lado esquerdo pertence a
(é combinação de vetores da base de
), o lado direito pertence a
. Portanto o vetor comum pertence a
. Sendo assim o vetor está no subespaço
, mas
é gerado por
. Então podemos escrever
para alguns escalares
. Substituindo na relação original e movendo termos, obtemos
Mas os vetores
são uma base de
, logo são linearmente independentes. Assim todos coeficientes
e
são zero, ou seja
para todo
e
para todo
. Voltando à expressão
, como
é base de
(logo também linearmente independente), concluímos
para todo
e
para todo
. Assim todos os coeficientes
são zero. Portanto a lista unida é linearmente independente.
Passo 8
Como a lista unida gera
e é linearmente independente, ela é uma base de
. Então
Recordando que
e
, somando essas duas igualdades obtemos
E subtraindo
de
ficamos com
Portanto
Lembrando que
, chegamos à fórmula desejada
Passo 9
Pequeno exemplo concreto (para fixar): tome
,
gerado por
e
gerado por
. Então
,
,
tem dimensão
, e
tem dimensão
. A fórmula dá
, correta. Outro exemplo: se
são o mesmo subespaço de dimensão
, então
,
,
, e a fórmula dá
, também coerente.
Resposta
Verdadeiro