Seja W um espaço vetorial sobre \mathbb{R} de dimensão finita. Se U e V são subespaços de W então
\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} V=\operatorname{dim}(U+V)+\operatorname{dim}(U \cap V)
◯ Verdadeiro
◯ Falso

Passo 1

O enunciado diz: seja W um espaço vetorial real de dimensão finita e U e V subespaços de W. A afirmação a avaliar é
\dim U+\dim V=\dim(U+V)+\dim(U\cap V).
Dados relevantes:
  • W é de dimensão finita (isso permite falar em bases finitas e estender conjuntos linearmente independentes a bases).
  • U e V são subespaços de W.
    O que se pede: decidir se a igualdade acima é verdadeira ou falsa e justificar (mostrar) a razão.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): vamos provar a igualdade construindo bases apropriadas. A ideia clássica é:
  • tomar uma base de U\cap V,
  • estender essa base a uma base de U e a uma base de V,
  • mostrar que a união desses vetores forma uma base de U+V,
  • contar quantos vetores há em cada base e obter a igualdade das dimensões.
    Vou explicar cada passo com calma e sem pular etapas.

Passo 3

Começamos escolhendo uma base do espaço U\cap V. Como U\cap V é subespaço de W e W tem dimensão finita, U\cap V também tem dimensão finita. Seja
(x_1,x_2,\dots,x_r)
uma base de U\cap V. Aqui \,r=\dim(U\cap V). Isso significa duas coisas:
  • os vetores \,x_1,\dots,x_r são linearmente independentes;
  • todo vetor de U\cap V é combinação linear de \,x_1,\dots,x_r.

Passo 4

Agora estendemos essa base a uma base de U. A propriedade usada é: em espaço vetorial de dimensão finita todo conjunto linearmente independente pode ser estendido a uma base. Portanto existe uma sequência de vetores (u_1,\dots,u_p) em U tal que
(x_1,\dots,x_r,u_1,\dots,u_p)
é uma base de U. Logo
\dim U = r + p.
Interpretação: os u_i acrescentam as direções de U que não estão em U\cap V.

Passo 5

De forma análoga, estendemos a mesma base de U\cap V a uma base de V. Assim existem vetores (v_1,\dots,v_q) em V tal que
(x_1,\dots,x_r,v_1,\dots,v_q)
é uma base de V. Portanto
\dim V = r + q.
Os v_j representam as direções de V que não estão em U\cap V.

Passo 6

Agora vamos associar essas três listas de vetores e estudar o subespaço U+V. Considere a lista unida
(x_1,\dots,x_r,u_1,\dots,u_p,v_1,\dots,v_q).
Primeiro mostramos que essa lista gera U+V. Tomemos um vetor qualquer w\in U+V. Por definição existe u\in U e v\in V tais que w=u+v. Como (x_1,\dots,x_r,u_1,\dots,u_p) é base de U, podemos escrever
u = \sum_{i=1}^r a_i x_i + \sum_{i=1}^p b_i u_i.
Como (x_1,\dots,x_r,v_1,\dots,v_q) é base de V, podemos escrever
v = \sum_{i=1}^r c_i x_i + \sum_{j=1}^q d_j v_j.
Somando,
w = u+v = \sum_{i=1}^r (a_i+c_i) x_i + \sum_{i=1}^p b_i u_i + \sum_{j=1}^q d_j v_j,
ou seja, w é combinação linear dos vetores da lista unida. Portanto a lista gera U+V.

Passo 7

Agora mostramos que a lista unida é linearmente independente. Suponha que exista uma combinação linear nula:
\sum_{i=1}^r \alpha_i x_i + \sum_{i=1}^p \beta_i u_i + \sum_{j=1}^q \gamma_j v_j = 0.
Reagrupando, obtemos
\left(\sum_{i=1}^r \alpha_i x_i + \sum_{i=1}^p \beta_i u_i\right) = -\sum_{j=1}^q \gamma_j v_j.
O lado esquerdo pertence a U (é combinação de vetores da base de U), o lado direito pertence a V. Portanto o vetor comum pertence a U\cap V. Sendo assim o vetor está no subespaço U\cap V, mas U\cap V é gerado por (x_1,\dots,x_r). Então podemos escrever
-\sum_{j=1}^q \gamma_j v_j = \sum_{i=1}^r \delta_i x_i
para alguns escalares \delta_i. Substituindo na relação original e movendo termos, obtemos
\sum_{i=1}^r (\alpha_i-\delta_i) x_i + \sum_{i=1}^p \beta_i u_i = 0.
Mas os vetores (x_1,\dots,x_r,u_1,\dots,u_p) são uma base de U, logo são linearmente independentes. Assim todos coeficientes \alpha_i-\delta_i e \beta_i são zero, ou seja \beta_i=0 para todo i e \alpha_i=\delta_i para todo i. Voltando à expressão -\sum_{j=1}^q \gamma_j v_j = \sum_{i=1}^r \delta_i x_i, como (x_1,\dots,x_r,v_1,\dots,v_q) é base de V (logo também linearmente independente), concluímos \gamma_j=0 para todo j e \delta_i=0 para todo i. Assim todos os coeficientes \alpha_i,\beta_i,\gamma_j são zero. Portanto a lista unida é linearmente independente.

Passo 8

Como a lista unida gera U+V e é linearmente independente, ela é uma base de U+V. Então
\dim(U+V)=r+p+q.
Recordando que \dim U = r+p e \dim V = r+q, somando essas duas igualdades obtemos
\dim U + \dim V = (r+p) + (r+q) = 2r + p + q.
E subtraindo \dim(U+V)=r+p+q de \dim U + \dim V ficamos com
\dim U + \dim V - \dim(U+V) = 2r+p+q - (r+p+q) = r.
Portanto
\dim U + \dim V = \dim(U+V) + r.
Lembrando que r=\dim(U\cap V), chegamos à fórmula desejada
\dim U+\dim V=\dim(U+V)+\dim(U\cap V).

Passo 9

Pequeno exemplo concreto (para fixar): tome W=\mathbb{R}^2, U gerado por (1,0) e V gerado por (1,1). Então \dim U=1, \dim V=1, U\cap V=\{0\} tem dimensão 0, e U+V=\mathbb{R}^2 tem dimensão 2. A fórmula dá 1+1=2+0, correta. Outro exemplo: se U=V são o mesmo subespaço de dimensão k, então \dim U+\dim V = 2k, \dim(U+V)=k, \dim(U\cap V)=k, e a fórmula dá 2k = k + k, também coerente.

Resposta

Verdadeiro

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