Verifique, usando propriedades dos determinantes, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Se
é uma matriz quadrada com duas linhas iguais, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
e diz que duas linhas de
são idênticas (iguais). A pergunta é: a afirmação "se
tem duas linhas iguais, então
" é verdadeira ou falsa? \n
Informações relevantes do enunciado:\n
Informações relevantes do enunciado:\n
-
é uma matriz quadrada (ou seja, número de linhas = número de colunas).\n - Existem índices
tais que a linha de é exatamente igual à linha de .\n - Queremos verificar se isso implica
.
Passo 2
Vou provar a afirmação de forma didática. Primeiro vou usar uma propriedade básica e muito prática sobre operações com linhas que é fácil de aplicar numa prova rápida de prova ou numa prova de exame: “substituir uma linha por ela menos outra linha” não altera o determinante. Depois vou concluir porque aparece uma linha nula e por que isso força o determinante a ser zero. Também dou uma ideia alternativa (intuitiva) usando a troca de linhas, para você ter outra visão.
Passo 3
Enunciando a propriedade usada (e explicando por que ela é plausível): se numa matriz você faz a operação elementar
(com
e
escalar), então o determinante não muda. Aqui
é um número do corpo sobre o qual trabalhamos (por exemplo
). Explicação didática do porquê: o determinante é linear em cada linha quando as demais ficam fixas — isto significa que, para uma linha variável
,
e
Aplicando essa propriedade com
e
, vemos que a adição de
vezes a linha
à linha
simplesmente acrescenta um termo proporcional a uma matriz que tem as linhas
e
iguais; esse termo tem um papel que é bem conhecido nas propriedades do determinante e, no caso específico de substituir por
, resulta em invariância do determinante. Em termos práticos de prova de prova: aceite (ou memorize) que "adicionar múltiplo de uma linha a outra não muda
"; é uma ferramenta padrão.
Passo 4
Agora aplico essa operação à matriz
que tem duas linhas iguais. Seja
e
os índices das linhas iguais. Façamos a operação
Como as linhas
e
são iguais, o novo conteúdo da linha
fica o vetor nulo (todos os elementos zero). Pelo passo anterior, essa operação não altera o determinante. Portanto, se
é a matriz obtida após a operação, temos
Mas
tem uma linha inteira igual a zero (a linha
é a linha nula).
Passo 5
Explico por que uma matriz que possui uma linha nula tem determinante zero: pela expansão do determinante por cofatores ao longo dessa linha nula, cada entrada da linha é zero, então cada termo da soma é zero, portanto a soma total (o determinante) é zero. Em símbolos: se a
-ésima linha é nula, então ao expandir por essa linha obtemos
onde
são os respectivos cofatores. Logo
. Combinando com o resultado do passo anterior,
Passo 6
Para tornar a ideia ainda mais concreta, veja um exemplo numérico simples com
. Seja
as duas linhas são iguais. O determinante é
Isto ilustra no caso
o que a prova geral garante para qualquer ordem.]
Passo 7
Complemento com uma visão alternativa (útil para intuição): outra propriedade do determinante é que trocar duas linhas altera o sinal do determinante:
Se as linhas
e
são iguais, trocar essas duas linhas não modifica a matriz (a matriz fica exatamente a mesma), então
. Daí
, o que força
na situação usual sobre
(porque
em
). Observação: esse raciocínio via troca de linhas é rápido e bastante usado em provas, mas a prova via operação de linha que produz uma linha nula (passos 3–5) é mais direta e não exige considerar constantes como
(ou possíveis características do corpo), então é a que eu recomendo memorizar para a prova.
Resposta
Verdadeira.