Verifique, usando propriedades dos determinantes, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Se A é uma matriz quadrada com duas linhas iguais, então \operatorname{det}(A)=0.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A e diz que duas linhas de A são idênticas (iguais). A pergunta é: a afirmação "se A tem duas linhas iguais, então \operatorname{det}(A)=0" é verdadeira ou falsa? \n
Informações relevantes do enunciado:\n
  • A é uma matriz quadrada (ou seja, número de linhas = número de colunas).\n
  • Existem índices i\neq j tais que a linha i de A é exatamente igual à linha j de A.\n
  • Queremos verificar se isso implica \operatorname{det}(A)=0.

Passo 2

Vou provar a afirmação de forma didática. Primeiro vou usar uma propriedade básica e muito prática sobre operações com linhas que é fácil de aplicar numa prova rápida de prova ou numa prova de exame: “substituir uma linha por ela menos outra linha” não altera o determinante. Depois vou concluir porque aparece uma linha nula e por que isso força o determinante a ser zero. Também dou uma ideia alternativa (intuitiva) usando a troca de linhas, para você ter outra visão.

Passo 3

Enunciando a propriedade usada (e explicando por que ela é plausível): se numa matriz você faz a operação elementar
\text{linha}_j \leftarrow \text{linha}_j + \alpha\cdot\text{linha}_i
(com i\neq j e \alpha escalar), então o determinante não muda. Aqui \alpha é um número do corpo sobre o qual trabalhamos (por exemplo \mathbb{R}). Explicação didática do porquê: o determinante é linear em cada linha quando as demais ficam fixas — isto significa que, para uma linha variável v,
\operatorname{det}(\dots, v+w, \dots)=\operatorname{det}(\dots, v, \dots)+\operatorname{det}(\dots, w, \dots)
e
\operatorname{det}(\dots, \alpha v, \dots)=\alpha\operatorname{det}(\dots, v, \dots).
Aplicando essa propriedade com v=\text{linha}_j e w=\alpha\cdot\text{linha}_i, vemos que a adição de \alpha vezes a linha i à linha j simplesmente acrescenta um termo proporcional a uma matriz que tem as linhas i e j iguais; esse termo tem um papel que é bem conhecido nas propriedades do determinante e, no caso específico de substituir por \text{linha}_j - \text{linha}_i, resulta em invariância do determinante. Em termos práticos de prova de prova: aceite (ou memorize) que "adicionar múltiplo de uma linha a outra não muda \det"; é uma ferramenta padrão.

Passo 4

Agora aplico essa operação à matriz A que tem duas linhas iguais. Seja i e j os índices das linhas iguais. Façamos a operação
\text{linha}_j \leftarrow \text{linha}_j - \text{linha}_i.
Como as linhas i e j são iguais, o novo conteúdo da linha j fica o vetor nulo (todos os elementos zero). Pelo passo anterior, essa operação não altera o determinante. Portanto, se A' é a matriz obtida após a operação, temos
\operatorname{det}(A')=\operatorname{det}(A).
Mas A' tem uma linha inteira igual a zero (a linha j é a linha nula).

Passo 5

Explico por que uma matriz que possui uma linha nula tem determinante zero: pela expansão do determinante por cofatores ao longo dessa linha nula, cada entrada da linha é zero, então cada termo da soma é zero, portanto a soma total (o determinante) é zero. Em símbolos: se a k-ésima linha é nula, então ao expandir por essa linha obtemos
\operatorname{det}(A')=\sum_{\ell} 0\cdot C_{k\ell}=0,
onde C_{k\ell} são os respectivos cofatores. Logo \operatorname{det}(A')=0. Combinando com o resultado do passo anterior,
\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A')=0.

Passo 6

Para tornar a ideia ainda mais concreta, veja um exemplo numérico simples com 2\times2. Seja
A=\begin{pmatrix}x & y\\[4pt] x & y\end{pmatrix},
as duas linhas são iguais. O determinante é
\operatorname{det}(A)=x\cdot y - y\cdot x = 0.
Isto ilustra no caso 2\times2 o que a prova geral garante para qualquer ordem.]

Passo 7

Complemento com uma visão alternativa (útil para intuição): outra propriedade do determinante é que trocar duas linhas altera o sinal do determinante:
\text{se }B\text{ é obtida trocando linhas }i\text{ e }j\text{ de }A,\quad \operatorname{det}(B)=-\operatorname{det}(A).é
Se as linhas i e j são iguais, trocar essas duas linhas não modifica a matriz (a matriz fica exatamente a mesma), então \operatorname{det}(A)=-\operatorname{det}(A). Daí 2\operatorname{det}(A)=0, o que força \operatorname{det}(A)=0 na situação usual sobre \mathbb{R} (porque 2\neq0 em \mathbb{R}). Observação: esse raciocínio via troca de linhas é rápido e bastante usado em provas, mas a prova via operação de linha que produz uma linha nula (passos 3–5) é mais direta e não exige considerar constantes como 2 (ou possíveis características do corpo), então é a que eu recomendo memorizar para a prova.

Resposta

Verdadeira.

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