Obtenha o valor esperado da area de um triangulo retangulo isosceles cuja hipotenusa tem comprimento uniformemente distribuido no intervalo [2,8].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o valor esperado da área de um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa tem comprimento distribuído uniformemente entre 2 e 8. Isso envolve conceitos de probabilidade contínua e valor esperado. Vamos precisar entender como relacionar a hipotenusa com a área do triângulo e aplicar a fórmula do valor esperado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo retângulo isósceles, os dois catetos têm o mesmo comprimento. Vamos chamar o comprimento de cada cateto de $ L L çã H $ é dada pelo teorema de Pitágoras:
H
Então, podemos expressar $ L H = L raiz2 H $:
L

Passo 3

Agora, a área $ A $ do triângulo é calculada pela fórmula:
A
Substituindo $ L A = L times L2 = L^22 ã H $:
L
Então, a área do triângulo depende do quadrado da hipotenusa.

Passo 4

Como a hipotenusa $ H H áíçã f_H(h) $ é:
fH(h)
Isso significa que todos os valores de $ H $ dentro desse intervalo têm a mesma probabilidade.

Passo 5

O valor esperado da área $ E[A] E[A] éáçã H $ sobre todo o intervalo possível:
H

Passo 6

Vamos calcular a integral $ \int_{2}^{8} h^2 , dh $:
integral2^8 h^2 , dh
Então,
integral h^2 , dh = h^33 Rightarrow [h^33]2^8 = 8^33 - 2^33 = 5123 - 83 = 5043 = 168

Resposta

O valor esperado da área do triângulo é 7 unidades de área.

Exercícios relacionados