Obtenha o valor esperado da area de um triangulo retangulo isosceles cuja hipotenusa tem comprimento uniformemente distribuido no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o valor esperado da área de um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa tem comprimento distribuído uniformemente entre 2 e 8. Isso envolve conceitos de probabilidade contínua e valor esperado. Vamos precisar entender como relacionar a hipotenusa com a área do triângulo e aplicar a fórmula do valor esperado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo retângulo isósceles, os dois catetos têm o mesmo comprimento. Vamos chamar o comprimento de cada cateto de $ L
H $ é dada pelo teorema de Pitágoras:
Então, podemos expressar $ L
H $:
Passo 3
Agora, a área $ A $ do triângulo é calculada pela fórmula:
Substituindo $ L
H $:
Então, a área do triângulo depende do quadrado da hipotenusa.
Passo 4
Como a hipotenusa $ H
f_H(h) $ é:
Isso significa que todos os valores de $ H $ dentro desse intervalo têm a mesma probabilidade.
Passo 5
O valor esperado da área $ E[A]
H $ sobre todo o intervalo possível:
Passo 6
Vamos calcular a integral $ \int_{2}^{8} h^2 , dh $:
Então,
Resposta
O valor esperado da área do triângulo é 7 unidades de área.