Sejam as seguintes amostras:
X:
Y:
Para quais valores de x as variâncias das amostras são iguais?
X:
Y:
Para quais valores de x as variâncias das amostras são iguais?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas amostras de números:
- X: {9, 4, x}
- Y: {12, 8, 7}
O objetivo é descobrir para quais valores de x a variância das duas amostras será igual. Então, vamos precisar usar o conceito de variância, que mede o quanto os números de um conjunto estão espalhados em relação à média. Para resolver isso, vamos calcular a variância de cada amostra e igualar as duas expressões para encontrar o valor de x.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média de cada amostra, porque a variância depende disso.
Para a amostra X:
Para a amostra Y:
Então, a média de Y é 9.
Passo 3
Agora vamos lembrar da fórmula da variância para uma amostra:
onde:
- $ s^2 $ é a variância,
- $ n $ é o número de elementos na amostra,
- $ a_i $ são os elementos da amostra,
- $ \bar{a} $ é a média da amostra.
Passo 4
Vamos calcular a variância de Y primeiro, já que conhecemos a média:
Então, a variância de Y é $ \frac{14}{3} $.
Passo 5
Agora, vamos calcular a variância de X. Primeiro, precisamos manter tudo em termos de x:
Agora, aplicando na fórmula da variância:
Substituindo $ \bar{X} $:
Passo 6
Simplificando cada termo dentro da soma:
Primeiro termo:
Então,
Segundo termo:
Então,
Terceiro termo:
Então,
Passo 7
Agora, somando todos os termos:
Passo 8
Queremos que as variâncias sejam iguais, então igualamos $ s_X^2 $ a $ s_Y^2 $:
Multiplicando ambos os lados por 27 para eliminar o denominador:
Passo 9
Expandindo os quadrados:
Somando tudo:
Passo 10
Subtraindo 126 de ambos os lados para igualar a zero:
Simplificando dividindo todos os termos por 6:
Passo 11
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ x^2 - 13x + 40 = 0 $. Podemos fatorar:
Então, as soluções são:
Resposta
Os valores de x que igualam as variâncias das amostras são 5 e 8.