Sejam as seguintes amostras:
X: 9 ; 4 ; x
Y: 12 ; 8 ; 7
Para quais valores de x as variâncias das amostras são iguais?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas amostras de números:
  • X: {9, 4, x}
  • Y: {12, 8, 7}
O objetivo é descobrir para quais valores de x a variância das duas amostras será igual. Então, vamos precisar usar o conceito de variância, que mede o quanto os números de um conjunto estão espalhados em relação à média. Para resolver isso, vamos calcular a variância de cada amostra e igualar as duas expressões para encontrar o valor de x.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média de cada amostra, porque a variância depende disso.
Para a amostra X:
barX = 9 + 4 + x3
Para a amostra Y:
barY = 12 + 8 + 73 = 273 = 9
Então, a média de Y é 9.

Passo 3

Agora vamos lembrar da fórmula da variância para uma amostra:
s^2 = 1n sumi=1^n (ai - bara)^2
onde:
  • $ s^2 $ é a variância,
  • $ n $ é o número de elementos na amostra,
  • $ a_i $ são os elementos da amostra,
  • $ \bar{a} $ é a média da amostra.

Passo 4

Vamos calcular a variância de Y primeiro, já que conhecemos a média:
sY^2 = 13 [(12 - 9)^2 + (8 - 9)^2 + (7 - 9)^2] = 13 [9 + 1 + 4] = 143
Então, a variância de Y é $ \frac{14}{3} $.

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância de X. Primeiro, precisamos manter tudo em termos de x:
barX = 13 + x3
Agora, aplicando na fórmula da variância:
sX^2 = 13 [(9 - barX)^2 + (4 - barX)^2 + (x - barX)^2]
Substituindo $ \bar{X} $:
barX

Passo 6

Simplificando cada termo dentro da soma:
Primeiro termo:
9 - 13 + x3 = 27 - 13 - x3 = 14 - x3
Então,
(14 - x3)^2 = (14 - x)^29
Segundo termo:
4 - 13 + x3 = 12 - 13 - x3 = -1 - x3
Então,
(-1 - x3)^2 = (1 + x)^29
Terceiro termo:
x - 13 + x3 = 3x - 13 - x3 = 2x - 133
Então,
(2x - 133)^2 = (2x - 13)^29

Passo 7

Agora, somando todos os termos:
sX^2 = 13 [ (14 - x)^29 + (1 + x)^29 + (2x - 13)^29 ] = 13 cdot (14 - x)^2 + (1 + x)^2 + (2x - 13)^29
sX^2 = (14 - x)^2 + (1 + x)^2 + (2x - 13)^227

Passo 8

Queremos que as variâncias sejam iguais, então igualamos $ s_X^2 $ a $ s_Y^2 $:
sX^2
Multiplicando ambos os lados por 27 para eliminar o denominador:
sY^2

Passo 9

Expandindo os quadrados:
(14 - x)^2 = 196 - 28x + x^2
(1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2
(2x - 13)^2 = 4x^2 - 52x + 169
Somando tudo:
196 - 28x + x^2 + 1 + 2x + x^2 + 4x^2 - 52x + 169 = 126
6x^2 - 78x + 366 = 126

Passo 10

Subtraindo 126 de ambos os lados para igualar a zero:
6x^2 - 78x + 240 = 0
Simplificando dividindo todos os termos por 6:
x^2 - 13x + 40 = 0

Passo 11

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ x^2 - 13x + 40 = 0 $. Podemos fatorar:
x^2 - 13x + 40 = 0
Então, as soluções são:
(x - 5)(x - 8) = 0

Resposta

Os valores de x que igualam as variâncias das amostras são 5 e 8.

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