Calcule a integral de superfície
integral duplaS(X+y+z) d S, onde S é o paralelogramo com equações paramétricas x=u+v, y=u-v, z=1+2 u+v, 0 <= u <= 2,0 <= v <= 1.

Passo 1

No primeiro passo, resumimos o enunciado: queremos calcular a integral de superfície de f(x,y,z)=x+y+z sobre o paralelogramo S parametrizado por r(u,v)=(u+v,,u-v,,1+2u+v) com 0<= u<=2 e 0<= v<=1. O conteúdo aqui é integral de superfície de superfície paramétrica e vamos usar a fórmula dS=|rutimes rv|,du,dv.

Passo 2

No segundo passo, substituímos a parametrização na função integranda. Como x=u+v, y=u-v e z=1+2u+v, temos
x+y+z=(u+v)+(u-v)+(1+2u+v)=4u+v+1.

Passo 3

No terceiro passo, calculamos os vetores tangentes e o módulo do vetor normal:
ru=l(1,1,2r), rv=l(1,-1,1r). O produto vetorial é
rutimes rv=(3,1,-2) e seu módulo é |rutimes rv|=raiz14.

Passo 4

No quarto passo, montamos e calculamos a integral dupla em u e v:

Resposta

11raiz14

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