Sejam as seguintes séries:
\sum_{1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{n^{3}+2}}, determine se a série converge ou diverge, usando o teste de comparação de limite.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{n^{3}+2}}
usando o teste de comparação de limite. Vamos comparar com uma série p-série simples cujo comportamento conhecemos bem.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{n}{\sqrt{n^3 + 2}}
e escolhemos a série de comparação
\sum_{n=1}^\infty b_n, \quad b_n = \frac{1}{n^{1/2}}.
Sabemos que \sum b_n é p-série com p=\tfrac12, e diverge (já que p\le1).

Passo 3

Calculamos o limite de a_n/b_n:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\frac{n}{\sqrt{n^3+2}}}{\frac{1}{n^{1/2}}} = \frac{n\,n^{1/2}}{\sqrt{n^3+2}} = \frac{n^{3/2}}{\sqrt{n^3+2}} = \sqrt{\frac{n^3}{n^3+2}}.
Como n\to\infty,
\sqrt{\frac{n^3}{n^3+2}} \;\longrightarrow\; \sqrt{\frac{1}{1+0}} =1.

Passo 4

O limite \lim_{n\to\infty}a_n/b_n = 1 é finito e não nulo. Pelo teste de comparação de limite, \sum a_n tem o mesmo comportamento de \sum b_n. Como \sum b_n diverge, concluímos que \sum a_n também diverge.

Resposta

A série diverge.

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