Sejam as seguintes séries:
, determine se a série converge ou diverge, usando o teste da série alternada.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série alternada
usando o teste da série alternada (teste de Leibniz). Vamos verificar as duas condições principais desse teste:
) os termos positivos
devem tender a zero;
) a sequência
deve ser monótona decrescente a partir de algum
.
Passo 2
Definimos
que de fato é não-negativo para todo
.
Passo 3
Calculamos o limite de
. Para
temos
Passo 4
Para mostrar que
é decrescente para
grande, considere a função
Sua derivada é
Para
o numerador fica negativo, logo
. Assim, para
vale
.
Passo 5
Como (i)
e (ii)
é decrescente a partir de
, pelo teste de Leibniz a série
converge.
Resposta
A série converge (condicionalmente).