Sejam as seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{\sqrt{n^{3}+2}}, determine se a série converge ou diverge, usando o teste da série alternada.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{n}{\sqrt{n^{3}+2}}
usando o teste da série alternada (teste de Leibniz). Vamos verificar as duas condições principais desse teste:
1) os termos positivos a_{n}=\tfrac{n}{\sqrt{n^{3}+2}} devem tender a zero;
2) a sequência \{a_{n}\} deve ser monótona decrescente a partir de algum n.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \frac{n}{\sqrt{n^{3}+2}},
que de fato é não-negativo para todo n\ge1.

Passo 3

Calculamos o limite de a_{n}. Para n\to\infty temos
a_{n} = \frac{n}{\sqrt{n^{3}+2}} = \frac{n}{n^{3/2}\sqrt{1+2/n^{3}}} = \frac{1}{n^{1/2}\sqrt{1+2/n^{3}}} \;\longrightarrow\; 0.

Passo 4

Para mostrar que a_{n} é decrescente para n grande, considere a função
f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{3}+2}},\quad x\ge1.
Sua derivada é
f'(x) =\frac{\sqrt{x^{3}+2} - x\cdot\frac{1}{2}(x^{3}+2)^{-1/2}\cdot3x^{2}} {(x^{3}+2)} =\frac{-\tfrac12\,x^{3}+2}{(x^{3}+2)^{3/2}}.
Para x>\sqrt[3]{4}\approx1,59 o numerador fica negativo, logo f'(x)<0. Assim, para n\ge2 vale a_{n+1}<a_{n}.

Passo 5

Como (i) a_{n}\to0 e (ii) a_{n} é decrescente a partir de n=2, pelo teste de Leibniz a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{n}
converge.

Resposta

A série converge (condicionalmente).

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