Considere a função f(x)=e^{x}-x^{2}.
(a) Aplique o método de Newton para encontrar uma aproximação de \xi \in[-1,0], com x_{0}=-1 e \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0.005.
(b) Sejam -1,-0.8,-0.6,-0.4 pontos onde a funçāo f(x) está tabelada. Encontre \bar{x}, tal que f(\bar{x})=0. Use interpolação inversa, na forma de Lagrange, usando um polinômio de grau
(c) Calcular uma aproximação de I=\int_{-0.4}^{0.8} f(x) d x usando a regra 1 / 3 de Simpson Repetida, 2. com erro inferior a 0.0002 .

Passo 1

O enunciado considera a função
\displaystyle f(x)=e^{x}-x^{2}
e pede três coisas:
  1. (a) usar o método de Newton para achar uma aproximação de \xi\in[-1,0] com x_{0}=-1 e tolerâncias \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0,005.
  2. (b) usando os pontos tabelados
\begin{array}{c|cccc} x & -1 & -0{,}8 & -0{,}6 & -0{,}4\\hline f(x) & e^{-1}-1 & e^{-0{,}8}-0{,}64 & e^{-0{,}6}-0{,}36 & e^{-0{,}4}-0{,}16 \end{array}
fazer interpolação inversa em forma de Lagrange (polinômio de grau 2) para achar \bar x tal que f(\bar x)=0.
3. (c) aproximar
\displaystyle I=\int_{-0{,}4}^{0{,}8}f(x)\,dx
pela regra de Simpson 1/3 repetida com erro abaixo de 0,0002.
Conteúdos usados: iteração de Newton, interpolação polinomial inversa e regra de Simpson com estimativa de erro.

Passo 2

Método de Newton:
f(x)=e^{x}-x^{2},\quad f'(x)=e^{x}-2x,
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Começando em x_{0}=-1:
f(-1)=e^{-1}-1\approx-0{,}6321,\quad f'(-1)=e^{-1}+2\approx2{,}3679,
x_{1}=-1-\frac{-0{,}6321}{2{,}3679}\approx-0{,}7331.
Verificamos |x_{1}-x_{0}|=0{,}2669>0{,}005 e |f(x_{1})|\approx0{,}0573>0{,}005, então iteramos de novo:
f(-0{,}7331)\approx-0{,}0573,\quad f'(-0{,}7331)\approx1{,}9463,
x_{2}=-0{,}7331-\frac{-0{,}0573}{1{,}9463}\approx-0{,}7037.
Agora |f(x_{2})|\approx0{,}0004<0{,}005, então atendemos \epsilon_{2} e paramos em
\displaystyle \xi\approx-0{,}7037.

Passo 3

Interpolação inversa de grau 2: escolhemos os três pontos mais próximos da raiz (onde f muda de sinal):
(x_{0},y_{0})=(-0{,}8,-0{,}1907),\quad (x_{1},y_{1})=(-0{,}6,\,0{,}1888),\quad (x_{2},y_{2})=(-0{,}4,\,0{,}5103),
onde y_{i}=f(x_{i}). Construímos o polinômio
x(y)=\sum_{i=0}^{2}x_{i}\prod_{j\neq i}\frac{y-y_{j}}{y_{i}-y_{j}}
e avaliamos em y=0: numericamente dá
\displaystyle \bar x\approx-0{,}7042.

Passo 4

Regra de Simpson 1/3 repetida em [-0{,}4,0{,}8]. Primeiro o erro:
\bigl|E_S\bigr|\le\frac{b-a}{180}\,h^{4}\max_{[a,b]}|f^{(4)}(x)|,
aqui f^{(4)}(x)=e^{x} e \max e^{x}=e^{0,8}\approx2{,}2255. Para \bigl|E_S\bigr|\le0{,}0002 vem n\ge4 (n par).
Tomamos n=4, h=(0{,}8-(-0{,}4))/4=0{,}3. Os nós são
x_{0}=-0{,}4,\;x_{1}=-0{,}1,\;x_{2}=0{,}2,\;x_{3}=0{,}5,\;x_{4}=0{,}8.
Calculamos
f(x_{0})\approx0{,}5103,\; f(x_{1})\approx0{,}8948,\; f(x_{2})\approx1{,}1814,\; f(x_{3})\approx1{,}3987,\; f(x_{4})\approx1{,}5855.
Aproximação de Simpson:
I\approx\frac{h}{3}\Bigl[f_{0}+f_{4}+4(f_{1}+f_{3})+2f_{2}\Bigr] =\frac{0{,}3}{3}\bigl[2{,}0958+9{,}1742+2{,}3628\bigr] \approx1{,}3633.

Resposta

(a) \xi\approx-0{,}7037.
(b) \bar x\approx-0{,}7042.
(c) \displaystyle I\approx1{,}3633.

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