Sejam os seguintes vetores:
\begin{aligned} & \vec{u}=(5,6,-4), \quad \vec{m}=(3,-2,-6) . \\\ & \vec{v}=(-5,3,-2), \quad \vec{n}=(1,-2,-4) . \\\ & \vec{w}=(\cos \alpha,-\operatorname{sen} \alpha,-1), \quad \vec{r}=(1, \cos \alpha, \operatorname{sen} \alpha) . \end{aligned}
Onde as funções \cos \alpha e senα são constantes. Encontrar o Produto Vetorial entre os seguintes vetores:
\vec{w} x \vec{r},

Passo 1

O enunciado nos dá explicitamente os vetores (onde as funções trigonométricas são constantes):
\vec{w}=(\cos\alpha,\; -\sin\alpha,\; -1),\qquad \vec{r}=(1,\; \cos\alpha,\; \sin\alpha).
A pergunta é: calcular o produto vetorial \vec{w}\times\vec{r}.

Passo 2

O que é o produto vetorial (curtinha e prática)? O produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} entre dois vetores em \mathbb{R}^3 é um vetor perpendicular a ambos, com magnitude igual à área do paralelogramo formado por \vec{a} e \vec{b}. Para calcular componentes usa-se a regra determinantal ou a fórmula direta de componentes:
(\vec{a}\times\vec{b})_1=a_2b_3-a_3b_2,
(\vec{a}\times\vec{b})_2=a_3b_1-a_1b_3,
(\vec{a}\times\vec{b})_3=a_1b_2-a_2b_1.
Aqui a_i e b_i são as componentes dos vetores \vec{a} e \vec{b} (com i=1,2,3 correspondendo às coordenadas x,y,z). Vou aplicar essa fórmula com \vec{a}=\vec{w} e \vec{b}=\vec{r}.

Passo 3

Anoto as componentes para facilitar:
w_1=\cos\alpha,\quad w_2=-\sin\alpha,\quad w_3=-1,
r_1=1,\quad r_2=\cos\alpha,\quad r_3=\sin\alpha.

Passo 4

Calculo da primeira componente usando (\vec{w}\times\vec{r})_1=w_2r_3-w_3r_2:
(\vec{w}\times\vec{r})_1 = (-\sin\alpha)(\sin\alpha) - (-1)(\cos\alpha).
Agora simplifico termo a termo:
(-\sin\alpha)(\sin\alpha) = -\sin^2\alpha, \qquad -(-1)(\cos\alpha)=\cos\alpha.
Portanto
(\vec{w}\times\vec{r})_1=\cos\alpha-\sin^2\alpha.

Passo 5

Calculo da segunda componente usando (\vec{w}\times\vec{r})_2=w_3r_1-w_1r_3:
(\vec{w}\times\vec{r})_2 = (-1)(1) - (\cos\alpha)(\sin\alpha).
Simplificando:
(\vec{w}\times\vec{r})_2 = -1 - \cos\alpha\sin\alpha.

Passo 6

Calculo da terceira componente usando (\vec{w}\times\vec{r})_3=w_1r_2-w_2r_1:
(\vec{w}\times\vec{r})_3 = (\cos\alpha)(\cos\alpha) - (-\sin\alpha)(1).
Simplificando:
(\vec{w}\times\vec{r})_3 = \cos^2\alpha + \sin\alpha.

Passo 7

Resumo dos componentes calculados (ainda não monto o vetor final aqui, só confirmo cada componente individualmente):
  • (\vec{w}\times\vec{r})_1=\cos\alpha-\sin^2\alpha.
  • (\vec{w}\times\vec{r})_2=-1-\cos\alpha\sin\alpha.
  • (\vec{w}\times\vec{r})_3=\cos^2\alpha+\sin\alpha.

Passo 8

Verificação rápida (didática): um produto vetorial deve ser ortogonal a ambos os vetores. Verifico \vec{w}\cdot(\vec{w}\times\vec{r}) e \vec{r}\cdot(\vec{w}\times\vec{r}) dão zero (mostrando coerência).
Cálculo 1:
\vec{w}\cdot(\vec{w}\times\vec{r}) = \cos\alpha(\cos\alpha-\sin^2\alpha) +(-\sin\alpha)(-1-\cos\alpha\sin\alpha) +(-1)(\cos^2\alpha+\sin\alpha).
Distribuindo e somando os termos observam-se cancelamentos que levam a 0 (detalhei esse tipo de simplificação no corpo da solução).
Cálculo 2:
\vec{r}\cdot(\vec{w}\times\vec{r}) = 1\cdot(\cos\alpha-\sin^2\alpha) +\cos\alpha(-1-\cos\alpha\sin\alpha) +\sin\alpha(\cos^2\alpha+\sin\alpha),
que também simplifica para 0. Isso confirma que o vetor obtido é perpendicular a \vec{w} e \vec{r}, como deve ser.

Resposta

\displaystyle \vec{w}\times\vec{r}=\bigl(\cos\alpha-\sin^2\alpha,\; -1-\cos\alpha\sin\alpha,\; \cos^2\alpha+\sin\alpha\bigr)

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