Usando a definição do versor ou vetor unitário determinar \beta nos seguintes vetores e encontrar esses vetores:
\vec{r}=\left(\beta,-2,-\frac{3}{7}\right).

Passo 1

O enunciado dá o vetor
\vec{r} = \left(\beta,\,-2,\,-\frac{3}{7}\right)
e pede para determinar o(s) valor(es) de \beta de modo que \vec{r} seja um versor (vetor unitário) e, em seguida, apresentar o(s) vetor(es) correspondente(s).

Passo 2

O que é um versor (vetor unitário)? Um versor é um vetor cuja norma (módulo, comprimento) vale 1. Para um vetor em \mathbb{R}^3 com componentes (x,y,z), a norma é definida por
\|\,(x,y,z)\,\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.
Aqui x,y,z representam as componentes do vetor nos eixos x,y,z. Então a condição de ser versor é
\sqrt{x^2+y^2+z^2}=1,
ou equivalentemente
x^2+y^2+z^2=1.

Passo 3

Aplicando a definição ao vetor dado, colocamos suas componentes na fórmula da norma e exigimos que a norma seja 1:
\sqrt{\beta^2 + (-2)^2 + \left(-\frac{3}{7}\right)^2} = 1.
Elevando ao quadrado (o que preserva a igualdade porque ambos os lados são não-negativos), obtemos a equação
\beta^2 + (-2)^2 + \left(-\frac{3}{7}\right)^2 = 1.

Passo 4

Calculemos os quadrados das componentes conhecidas:
(-2)^2 = 4,\qquad \left(-\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{9}{49}.
Substituindo na equação:
\beta^2 + 4 + \frac{9}{49} = 1.

Passo 5

Vamos isolar \beta^2. Primeiro converter os termos constantes para o mesmo denominador 49:
4 = \frac{196}{49},\qquad 1 = \frac{49}{49}.
Então
\beta^2 + \frac{196}{49} + \frac{9}{49} = \frac{49}{49}
\beta^2 + \frac{205}{49} = \frac{49}{49}
\beta^2 = \frac{49-205}{49} = -\frac{156}{49}.

Passo 6

A última igualdade dá \beta^2 = -\dfrac{156}{49}, que é um número negativo. Como o quadrado de um número real não pode ser negativo, concluímos que não existe valor real de \beta que satisfaça a condição de que \vec{r} seja um versor. Intuitivamente isso já podia ser visto mais rápido: as componentes conhecidas já têm soma de quadrados
4+\frac{9}{49}=4{,}18367\ldots>1,
ou seja, mesmo com \beta=0 a norma seria maior que 1, então não há \beta\in\mathbb{R} que reduza a norma até 1.

Passo 7

Se for de interesse considerar soluções complexas (fora do contexto usual de vetores reais), pode-se escrever a solução formal:
\beta = \pm\mathrm{i}\,\frac{\sqrt{156}}{7}=\pm\frac{2\mathrm{i}\sqrt{39}}{7},
onde \mathrm{i} é a unidade imaginária. Essas soluções fazem \beta^2=-\dfrac{156}{49}, mas vetores com componentes complexas não são vetores reais usuais.

Resposta

Não existe valor real de \beta tal que \vec{r} seja um versor.
\beta=\pm\frac{2\mathrm{i}\sqrt{39}}{7} (soluções complexas, se for permitido trabalhar com componentes complexas).

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