Usando a definição do versor ou vetor unitário determinar
nos seguintes vetores e encontrar esses vetores:
.
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede para determinar o(s) valor(es) de
de modo que
seja um versor (vetor unitário) e, em seguida, apresentar o(s) vetor(es) correspondente(s).
Passo 2
O que é um versor (vetor unitário)? Um versor é um vetor cuja norma (módulo, comprimento) vale
. Para um vetor em
com componentes
, a norma é definida por
Aqui
representam as componentes do vetor nos eixos
. Então a condição de ser versor é
ou equivalentemente
Passo 3
Aplicando a definição ao vetor dado, colocamos suas componentes na fórmula da norma e exigimos que a norma seja
:
Elevando ao quadrado (o que preserva a igualdade porque ambos os lados são não-negativos), obtemos a equação
Passo 4
Calculemos os quadrados das componentes conhecidas:
Substituindo na equação:
Passo 5
Vamos isolar
. Primeiro converter os termos constantes para o mesmo denominador
:
Então
Passo 6
A última igualdade dá
, que é um número negativo. Como o quadrado de um número real não pode ser negativo, concluímos que não existe valor real de
que satisfaça a condição de que
seja um versor. Intuitivamente isso já podia ser visto mais rápido: as componentes conhecidas já têm soma de quadrados
ou seja, mesmo com
a norma seria maior que
, então não há
que reduza a norma até
.
Passo 7
Se for de interesse considerar soluções complexas (fora do contexto usual de vetores reais), pode-se escrever a solução formal:
onde
é a unidade imaginária. Essas soluções fazem
, mas vetores com componentes complexas não são vetores reais usuais.
Resposta
Não existe valor real de
tal que
seja um versor.
(soluções complexas, se for permitido trabalhar com componentes complexas).