Em cada caso abaixo, determine se o conjunto
é ou não um espaço vetorial com as operações definidas:
e
;
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a “soma”
com a “soma”
e o “produto escalar”
O conteúdo é Teoria de Espaços Vetoriais: temos de verificar os axiomas, em particular existência de elemento neutro aditivo.
Passo 2
Fechamento: para quaisquer
,
pois
e
.
E para qualquer ,
E para qualquer
Logo, fechamento sob soma e escalar está OK.
Passo 3
Comutatividade e associatividade da soma são satisfeitas porque
e
é igual a
Passo 4
Para ter elemento neutro aditivo
deveríamos ter, para todo
,
Mas
implica
e
. Esse último só seria verdade para todos os
se
fosse sempre zero, o que não vale em
. Assim não existe elemento neutro aditivo.
Passo 5
Como falha a existência de elemento neutro aditivo, não se satisfazem todos os axiomas de espaço vetorial.