Em cada caso abaixo, determine se o conjunto V=(a, b) mid a, b in R é ou não um espaço vetorial com as operações definidas:
(a, b) oplus(c, d)=(a+c, 0) e r odot(a, b)=(r a, r b);

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = (a,b)mid a,binR
com a “soma”
(a,b)oplus(c,d) = (a+c,,0)
e o “produto escalar”
rodot(a,b) = (r,a,,r,b)
O conteúdo é Teoria de Espaços Vetoriais: temos de verificar os axiomas, em particular existência de elemento neutro aditivo.

Passo 2

Fechamento: para quaisquer (a,b),(c,d)in V,
(a,b)oplus(c,d) = (a+c,0)in V
pois a+cinR e 0inR.
E para qualquer rinR,
rodot(a,b) = (r,a,,r,b)in V
Logo, fechamento sob soma e escalar está OK.

Passo 3

Comutatividade e associatividade da soma são satisfeitas porque
(a,b)oplus(c,d)=(a+c,0)=(c+a,0)=(c,d)oplus(a,b),
e
l((a,b)oplus(c,d)r)oplus(e,f) =(a+c,0)oplus(e,f) =(a+c+e,0)
é igual a
(a,b)oplusl((c,d)oplus(e,f)r) =(a,b)oplus(c+e,0) =(a+c+e,0)

Passo 4

Para ter elemento neutro aditivo z=(x,y) deveríamos ter, para todo (a,b),
(a,b)oplus(x,y)=(a,b)
Mas
(a,b)oplus(x,y)=(a+x,0)=(a,b)
implica a+x=aimplies x=0 e 0=b. Esse último só seria verdade para todos os (a,b) se b fosse sempre zero, o que não vale em V. Assim não existe elemento neutro aditivo.

Passo 5

Como falha a existência de elemento neutro aditivo, não se satisfazem todos os axiomas de espaço vetorial.

Resposta

V não é um espaço vetorial com as operações dadas.

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