Sejam as séries de potências de x, a saber,
I) Série de Taylor:
& f(x)=f(a)+(x-a) f^prime(a)+(x-a)^22! f^prime prime(a)+cdots & =sumn=0^infty (x-a)^nn! f^(n)(a)
II) Série de Maclaurin:
f(x)=f(0)+x f^prime(0)+x^22! f^prime prime(0)+cdots=sumn=0^infty x^nn! f^(n)(0)
  • Mostre que desenvolvendo as funções abaixo em séries de potências, estas são dadas por:
    cos x=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n(2 n)!.

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente usar série de potências (mais especificamente a Série de Maclaurin, que é um caso da Série de Taylor em torno de cos x ;=;sumn=0^infty(-1)^n,x^2n(2n)! ) pra mostrar que
O que precisamos aqui é:
  1. Saber a fórmula da Série de Maclaurin,
  2. Calcular as derivadas de e avaliá-las em ,
  3. Identificar o padrão e montar a soma.

Passo 2

A Série de Maclaurin de uma função f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n é
Então, vamos aplicar isso em . Pra isso, precisamos conhecer para todo .

Passo 3

Vamos listar as derivadas de e o valor delas em :
E aí o ciclo se repete a cada quatro derivadas.

Passo 4

Observando esses valores em f^(n)(0)= 0,&n ímpar, (-1)^k,&n=2k , vemos que:
  • Para ímpar, .
  • Para par, digamos , alterna entre e seguindo o sinal .
Ou seja,
í

Passo 5

Substituindo na fórmula da Série de Maclaurin, só os termos com cos x =sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n =sumk=0^infty(-1)^k(2k)!,x^2k sobrevivem:

Resposta

cos x ;=;sumn=0^infty(-1)^n,x^2n(2n)!

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