Sejam as séries de potências de
, a saber,
I) Série de Taylor:
II) Série de Maclaurin:
- Mostre que desenvolvendo as funções abaixo em séries de potências, estas são dadas por:
.
I) Série de Taylor:
Passo 1
Então, o exercício pede pra gente usar série de potências (mais especificamente a Série de Maclaurin, que é um caso da Série de Taylor em torno de
) pra mostrar que
O que precisamos aqui é:
- Saber a fórmula da Série de Maclaurin,
- Calcular as derivadas de
e avaliá-las em , - Identificar o padrão e montar a soma.
Passo 2
A Série de Maclaurin de uma função
é
Então, vamos aplicar isso em
. Pra isso, precisamos conhecer
para todo
.
Passo 3
Vamos listar as derivadas de
e o valor delas em
:
E aí o ciclo se repete a cada quatro derivadas.
Passo 4
Observando esses valores em
, vemos que:
- Para
ímpar, . - Para
par, digamos , alterna entre e seguindo o sinal .
Ou seja,
Passo 5
Substituindo na fórmula da Série de Maclaurin, só os termos com
sobrevivem: