Sejam
e
séries com termos positivos. Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se uma afirmação for falsa, dê um exemplo que a contradiga.
(a)
e
são divergentes, então
é divergente.
(b) Se
converge e
diverge, então
diverge.
©
e
são convergentes, então
é convergente.
(a)
(b) Se
©
Passo 1
O enunciado pede para verificar a veracidade de três afirmações sobre séries de termos positivos, usando conhecimentos de testes de convergência e comparação de séries. Vamos precisar lembrar de exemplos clássicos de séries-p e usar desigualdades como AM–GM para a parte verdadeira.
Passo 2
Para (a), queremos mostrar que é falso que “se
e
divergem então
diverge”. Considere
. Então ambas as séries $\sum 1/n$ divergem (série harmônica), mas
e a série
converge (série-p com
). Logo (a) é falsa.
Passo 3
Para (b), a afirmação “se
converge e
diverge, então
diverge” também é falsa. Basta tomar
Então $\sum a_n = \sum 1/n^2$ converge e $\sum b_n = \sum 1/n$ diverge, mas
e $\sum 1/n^3$ converge. Portanto (b) é falsa.
Passo 4
Para ©, “se
e
convergem então
converge” é verdadeira. Como
e
são séries de termos positivos convergentes, temos
e as sequências ficam menores que 1 a partir de algum índice. Então para índices grandes
o que garante que $\sum a_n^2$ e $\sum b_n^2$ convergem por comparação com $\sum a_n$ e $\sum b_n$. Usando a desigualdade de AM–GM para cada
:
segue que
Logo © é verdadeira.
Resposta
(a) Falsa, exemplo: a_n = b_n = 1/n. (b) Falsa, exemplo: a_n = 1/n^2, b_n = 1/n. © Verdadeira pelo uso de AM–GM e comparação de séries de quadrados.