Sejam Sigma an e Sigma bn séries com termos positivos. Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se uma afirmação for falsa, dê um exemplo que a contradiga.
(a) Se Sigma an e Sigma bn são divergentes, então Sigma an bn é divergente.
(b) Se Sigma an converge e Sigma bn diverge, então Sigma an bn diverge.
© Se Sigma an e Sigma bn são convergentes, então Sigma an bn é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a veracidade de três afirmações sobre séries de termos positivos, usando conhecimentos de testes de convergência e comparação de séries. Vamos precisar lembrar de exemplos clássicos de séries-p e usar desigualdades como AM–GM para a parte verdadeira.

Passo 2

Para (a), queremos mostrar que é falso que “se sum 1/n e an bn = 1n cdot 1n = 1n^2, divergem então sumn=1^infty 1n^2 diverge”. Considere p=2>1. Então ambas as séries $\sum 1/n$ divergem (série harmônica), mas
e a série
converge (série-p com ). Logo (a) é falsa.

Passo 3

Para (b), a afirmação “se an = 1n^2, bn = 1n converge e sum an = sum 1/n^2 diverge, então sum bn = sum 1/n diverge” também é falsa. Basta tomar
an bn = 1n^2 cdot 1n = 1n^3,
Então $\sum a_n = \sum 1/n^2$ converge e $\sum b_n = \sum 1/n$ diverge, mas
sum 1/n^3
e $\sum 1/n^3$ converge. Portanto (b) é falsa.

Passo 4

Para ©, “se an^2 <= an, bn^2 <= bn, e sum an^2 convergem então sum bn^2 converge” é verdadeira. Como sum an e sum bn são séries de termos positivos convergentes, temos n e as sequências ficam menores que 1 a partir de algum índice. Então para índices grandes
an bn <= an^2 + bn^22,
o que garante que $\sum a_n^2$ e $\sum b_n^2$ convergem por comparação com $\sum a_n$ e $\sum b_n$. Usando a desigualdade de AM–GM para cada sumn=1^infty an bn <= 12 l(sum an^2 + sum bn^2r) < infty :
segue que
Logo © é verdadeira.

Resposta

(a) Falsa, exemplo: a_n = b_n = 1/n. (b) Falsa, exemplo: a_n = 1/n^2, b_n = 1/n. © Verdadeira pelo uso de AM–GM e comparação de séries de quadrados.

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