Use o Teste da Comparação Direta para mostrar que a primeira série diverge, comparando-a com a segunda série.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
diverge usando o Teste da Comparação Direta, comparando-a com a série harmônica
. O conteúdo aqui é o Teste da Comparação Direta e vamos precisar encontrar uma desigualdade que relacione os termos das duas séries para n suficientemente grande.
Passo 2
Para n ≥ 2, o denominador satisfaz
. Como a função
é decrescente para x>0, invertendo obtemos
Multiplicando pelos termos positivos
, temos
Passo 3
Agora simplificamos a fração à direita:
Logo, para todo n ≥ 2,
Passo 4
A série harmônica
é conhecida por divergir. Pelo Teste da Comparação Direta, se
e
diverge, então
também diverge. Aqui temos
e
, com
para n ≥ 2 e
divergente. Portanto,
diverge também.
Resposta
A série
diverge por comparação direta com a série harmônica divergente
.