Use o Teste da Comparação Direta para mostrar que a primeira série diverge, comparando-a com a segunda série.
sumn=2^infty n^2+nn^3-2 sumn=2^infty 1n

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série sumn=2^infty n^2+nn^3-2 diverge usando o Teste da Comparação Direta, comparando-a com a série harmônica sumn=2^infty 1n. O conteúdo aqui é o Teste da Comparação Direta e vamos precisar encontrar uma desigualdade que relacione os termos das duas séries para n suficientemente grande.

Passo 2

Para n ≥ 2, o denominador satisfaz n^3 - 2 <= n^3. Como a função xmapsto 1/x é decrescente para x>0, invertendo obtemos
1n^3-2 >= 1n^3
Multiplicando pelos termos positivos n^2+n, temos
n^2+nn^3-2 >= n^2+nn^3

Passo 3

Agora simplificamos a fração à direita:
n^2+nn^3 = n^2n^3 + nn^3 = 1n + 1n^2 >= 1n
Logo, para todo n ≥ 2,
n^2+nn^3-2 >= 1n

Passo 4

A série harmônica sumn=2^infty 1n é conhecida por divergir. Pelo Teste da Comparação Direta, se 0 <= an <= bn e sum bn diverge, então sum an também diverge. Aqui temos an=n^2+nn^3-2 e bn=1n, com an >= bn para n ≥ 2 e sum bn divergente. Portanto, sum an diverge também.

Resposta

A série sumn=2^infty n^2+nn^3-2 diverge por comparação direta com a série harmônica divergente sumn=2^infty 1n.

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