Sejam os sistemas definidos pelas equações abaixo. . Diga se o sistema é: i) estável, ii)com memória, iii) causal. Justifique a resposta.
Passo 1
O enunciado pede para estudar um sistema discreto definido por
As propriedades que vamos verificar são estabilidade BIBO, presença de memória e causalidade. Para isso, vamos usar as definições:
– Estabilidade BIBO: para todo sinal de entrada limitado, a saída também deve ser limitada.
– Sistema sem memória (memoryless): a saída em cada instante depende apenas da entrada no mesmo instante.
– Sistema causal: a saída em depende apenas de valores de entrada em
.
– Estabilidade BIBO: para todo sinal de entrada limitado, a saída também deve ser limitada.
– Sistema sem memória (memoryless): a saída em cada instante depende apenas da entrada no mesmo instante.
– Sistema causal: a saída em
Passo 2
Para a estabilidade BIBO, suponha que a entrada
seja limitada, isto é, exista
tal que
para todo
. Como
é a unidade passo e vale 0 ou 1, temos
Logo a saída também é limitada por
, provando que o sistema é estável.
Passo 3
Para verificar memória, note que
depende apenas de
e de
. Como
é um sinal conhecido e não faz parte da entrada variável, a saída em
não usa valores de
com
. Portanto o sistema é sem memória (memoryless).
Passo 4
Para verificar causalidade, observamos que
só depende de
(e de
, que é um sinal fixo). Não há dependência de
com
, logo o sistema é causal.
Resposta
i) Estável
ii) Sem memória
iii) Causal
ii) Sem memória
iii) Causal