Sejam os sistemas definidos pelas equações abaixo. . Diga se o sistema é: i) estável, ii)com memória, iii) causal. Justifique a resposta.
y[n]=3 cdot x[n] cdot u[n+1]

Passo 1

O enunciado pede para estudar um sistema discreto definido por
y[n] = 3 cdot x[n] cdot u[n+1]
As propriedades que vamos verificar são estabilidade BIBO, presença de memória e causalidade. Para isso, vamos usar as definições:
– Estabilidade BIBO: para todo sinal de entrada limitado, a saída também deve ser limitada.
– Sistema sem memória (memoryless): a saída em cada instante depende apenas da entrada no mesmo instante.
– Sistema causal: a saída em n depende apenas de valores de entrada em k <= n.

Passo 2

Para a estabilidade BIBO, suponha que a entrada x[n] seja limitada, isto é, exista M>0 tal que |x[n]| <= M para todo n. Como u[n+1] é a unidade passo e vale 0 ou 1, temos
|y[n]| = |3,x[n] ,u[n+1]| <= 3,|x[n]| <= 3M
Logo a saída também é limitada por 3M, provando que o sistema é estável.

Passo 3

Para verificar memória, note que y[n] depende apenas de x[n] e de u[n+1]. Como u[n+1] é um sinal conhecido e não faz parte da entrada variável, a saída em n não usa valores de x[k] com k neq n. Portanto o sistema é sem memória (memoryless).

Passo 4

Para verificar causalidade, observamos que y[n] só depende de x[n] (e de u[n+1], que é um sinal fixo). Não há dependência de x[k] com k>n, logo o sistema é causal.

Resposta

i) Estável
ii) Sem memória
iii) Causal

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