Use a notação de somatório para escrever a série de Maclaurin para a função dada.
11+x

Passo 1

Opa! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para usarmos a notação de somatório para escrever a série de Maclaurin da função $ \frac{1}{1+x} $. Isso envolve entender séries de potências e como expandir funções usando a série de Maclaurin, que é basicamente a série de Taylor centrada em zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma forma de expressar uma função como uma soma infinita de termos polinomiais. A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função $ f(x) $ é:
f(x)
Aqui, $ f^{(n)}(0) $ representa a n-ésima derivada de $ f(x) $ avaliada em $ x = 0 $.

Passo 3

No entanto, há uma maneira mais fácil de encontrar a série de Maclaurin para $ \frac{1}{1+x} $ usando uma série geométrica. A série geométrica é:
11+x
Mas na nossa função, temos $ \frac{1}{1 + x} $, que pode ser escrita como $ \frac{1}{1 - (-x)} $.

Passo 4

Comparando as duas expressões, vemos que $ r = -x $. Então, substituindo $ r $ na série geométrica, temos:
r = -x

Passo 5

Agora, podemos simplificar $ (-x)^n $ como $ (-1)^n x^n $. Assim, a série de Maclaurin para $ \frac{1}{1+x} $ fica:
(-x)^n

Resposta

11 + x = sumn=0^infty (-1)^n x^n

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