(Equações de Cauchy-Euler). São EDOs da forma
x^2 y^prime prime+a x y^prime+b y=0
a) Supondo que y(x)=x^m, onde m é um número real, é uma solução de (8), mostre que m satisfaz:
m^2=(a-1) m+b=0
b) Seja m1 e m2 as raízes reais distintas da equação (9), então a solução geral será da forma:
y(x)=c1 x^m1+c2 x^m2
c) Se m1=m2=m são raízes reais e iguais da equação (9), então a solução geral será da forma:
y(x)=(c1+c2 ln x) x^m, onde m=12(1-a)
d) Se m1=alpha+i beta e m2=alpha-i beta são raízes complexas da equação (9), então a solução geral será da forma:
y(x)=x^alpha(c1 cos (beta ln x)+c2 sin (beta ln x))

Passo 1

O enunciado fala de uma EDO de Cauchy-Euler da forma x^2y'' + a x y' + b y = 0 e pede para usar o ansatz y=x^m para encontrar as soluções gerais em quatro casos diferentes: raízes distintas, raízes iguais e raízes complexas. Vamos precisar lembrar como derivar y=x^m e como obter a equação característica a partir da substituição.

Passo 2

Assumindo y(x)=x^m, temos as derivadas
y' = m x^m-1,
y'' = m(m-1)x^m-2
Substituindo em x^2y'' + a x y' + b y =0 obtemos
x^2l(m(m-1)x^m-2r) + a x l(m x^m-1r) + b x^m = 0
Fatorando x^m (que não é zero para x>0) sobra a equação característica
m(m-1) + a m + b = 0
ou seja
m^2 + (a-1)m + b = 0

Passo 3

Seja m1 e m2 as raízes reais distintas da equação característica m^2+(a-1)m+b=0. Como cada x^mi é solução linearmente independente, a solução geral é combinação linear:
y(x)=c1x^m1 + c2x^m2

Passo 4

Quando a equação característica tem raiz dupla m1=m2=m, o segundo conjunto de soluções não nasce de outra potência, mas de x^mln x. A solução geral fica
y(x)=l(c1 + c2ln xr)x^m,
onde, por fórmula da raiz dupla,
m = -(a-1)2 = 1-a2

Passo 5

Se as raízes forem complexas m1=alpha+ibeta e m2=alpha-ibeta, usamos a parte real e imaginária de x^alpha+ibeta=x^alphae^ibetaln x para obter as duas soluções reais independentes x^alphacos(betaln x) e x^alphasin(betaln x). Assim a solução geral é
y(x)=x^alphal(c1cos(betaln x)+c2sin(betaln x)r)

Resposta

a) A equação característica é
c) Para raiz dupla m^2+(a-1)m+b=0 b) Para raízes reais e distintas $m1,m2$: [y=c1x^m1+c2x^m2:
m1=m2=m=tfrac1-a2
d) Para raízes complexas y=(c1+c2ln x)x^m:
m=alphapm ibeta

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