(Equações de Cauchy-Euler). São EDOs da forma
a) Supondo que
, onde
é um número real, é uma solução de (8), mostre que
satisfaz:
b) Seja
e
as raízes reais distintas da equação (9), então a solução geral será da forma:
c) Se
são raízes reais e iguais da equação (9), então a solução geral será da forma:
d) Se
e
são raízes complexas da equação (9), então a solução geral será da forma:
Passo 1
O enunciado fala de uma EDO de Cauchy-Euler da forma
e pede para usar o ansatz
para encontrar as soluções gerais em quatro casos diferentes: raízes distintas, raízes iguais e raízes complexas. Vamos precisar lembrar como derivar
e como obter a equação característica a partir da substituição.
Passo 2
Assumindo
, temos as derivadas
Substituindo em
Fatorando
(que não é zero para
) sobra a equação característica
ou seja
Passo 3
Seja
e
as raízes reais distintas da equação característica
. Como cada
é solução linearmente independente, a solução geral é combinação linear:
Passo 4
Quando a equação característica tem raiz dupla
, o segundo conjunto de soluções não nasce de outra potência, mas de
. A solução geral fica
onde, por fórmula da raiz dupla,
Passo 5
Se as raízes forem complexas
e
, usamos a parte real e imaginária de
para obter as duas soluções reais independentes
e
. Assim a solução geral é
Resposta
a) A equação característica é
c) Para raiz dupla
:
d) Para raízes complexas