Sejam
subespaços de
. Determine
. É soma direta?
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
:
e pede a soma
e se ela é direta. O conteúdo aqui é soma de subespaços e soma direta. Para resolver, vamos parametrizar cada subespaço, achar sua intersecção e depois ver qual é a soma.
Passo 2
Parametrizamos
e
retirando as restrições:
— Em
temos
, logo
Assim
.
— Em
temos
, sem restrição em
, então
Logo
.
Passo 3
Para ver se a soma é direta, primeiro identificamos
Substituindo
em
dão
, ou seja
. Assim
de dimensão
. Portanto a intersecção não é só o vetor zero.
Passo 4
Mostramos que
. Dado um vetor arbitrário
, queremos
com
e
. Escreva
e imponha
As duas primeiras equações definem
,
livremente em função de
, e a terceira sempre se resolve escolhendo
Logo há solução para todo
, o que implica
.
Passo 5
Como vimos em
Passo 6
logo a soma não é direta. Pela fórmula de dimensões,
coerente com o fato de a soma dar
.