Sejam
& W1=(x, y, z) mid x+y-z=0 & W2=(x, y, z) mid x=y
subespaços de R^3. Determine W1+W2. É soma direta?

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^3:
W1=(x,y,z)mid x+y-z=0, W2=(x,y,z)mid x=y,
e pede a soma W1+W2 e se ela é direta. O conteúdo aqui é soma de subespaços e soma direta. Para resolver, vamos parametrizar cada subespaço, achar sua intersecção e depois ver qual é a soma.

Passo 2

Parametrizamos W1 e W2 retirando as restrições:
— Em W1 temos z=x+y, logo
W1=(x,y,x+y)mid x,yinR =,x(1,0,1)+y(0,1,1)mid x,yinR
Assim dim W1=2.
— Em W2 temos y=x, sem restrição em z, então
W2=(x,x,z)mid x,zinR =,x(1,1,0)+z(0,0,1)mid x,zinR
Logo dim W2=2.

Passo 3

Para ver se a soma é direta, primeiro identificamos
Substituindo em dão , ou seja . Assim
de dimensão . Portanto a intersecção não é só o vetor zero.

Passo 4

Mostramos que W1+W2=R^3. Dado um vetor arbitrário (a,b,c), queremos (a,b,c)=(u1,u2,u3)+(v1,v2,v3) com (u1,u2,u3)in W1 e (v1,v2,v3)in W2. Escreva
(u1,u2,u3)=(x,y,x+y), (v1,v2,v3)=(t,t,z),
e imponha
x+t=a, y+t=b, (x+y)+z=c
As duas primeiras equações definem x=a-t, y=b-t livremente em função de t, e a terceira sempre se resolve escolhendo
z=c-(x+y)=c-l((a-t)+(b-t)r)
Logo há solução para todo (a,b,c), o que implica W1+W2=R^3.

Passo 5

Como vimos em

Passo 6

W1cap W2neq0,
logo a soma não é direta. Pela fórmula de dimensões,
dim(W1+W2) =dim W1+dim W2-dim(W1cap W2) =2+2-1=3,
coerente com o fato de a soma dar R^3.

Resposta

W1+W2=R^3, e não é soma direta.

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