Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. Prove que U+W é um subespaço de V. Além disso, U cup W subset U+W.
(11) Considere o espaço vetorial V=F(R ; R). Fixada a função g: R longrightarrow R, mostre que o conjunto F1=f in F(R ; R) mid f(g(x))=f(x) é um subespaço vetorial de F(R ; R).

Passo 1

O enunciado pede dois itens em um espaço vetorial V:
  1. Mostrar que, dado U e W subespaços de V, o conjunto
U+W = ,u+w mid uin U,;win W
é um subespaço de V e, além disso, provar que Ucup Wsubset U+W.
2. No caso especial de V=F(R;R) (o espaço de todas as funções reais de variável real) e fixada uma função g:RtoR, mostrar que
F1=,finF(R;R)mid f(g(x))=f(x) para todo x
é um subespaço de F(R;R).
Para cada parte, usaremos o critério de subespaço: não pode ser vazio e deve ser fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Definimos
U+W = u+w mid uin U,;win W
Como U e W são subespaços, 0in U e 0in W. Logo
0 = 0+0 in U+W,
ou seja, U+W não é vazio.

Passo 3

Agora fechamos sob soma e escalar. Sejam x1,x2in U+W e alphainK.
Como cada xi vale xi = ui + wi com uiin U e wiin W, então
x1 + x2 = (u1+w1)+(u2+w2) = (u1+u2) + (w1+w2)
Como U e W são subespaços, u1+u2in U e w1+w2in W. Logo x1+x2in U+W.
Analogamente,
alpha x1 = alpha(u1+w1) = (alpha u1) + (alpha w1),
e alpha u1in U, alpha w1in W, logo alpha x1in U+W. Portanto U+W é subespaço.

Passo 4

Para ver que Ucup Wsubset U+W, basta notar que, se uin U, então
u = u + 0in U+W,
e se win W,
w = 0 + win U+W
Assim qualquer elemento de U ou de W está em U+W.

Passo 5

No segundo item, o espaço vetorial é V=F(R;R) e definimos
F1=,finF(R;R)mid f(g(x))=f(x) forall x
Queremos mostrar que F1 é subespaço: precisamos ver que F1neqemptyset, e que se f,hin F1 e alphainR então f+hin F1 e alpha fin F1.

Passo 6

  1. Zero: a função nula f0(x)equiv 0 satisfaz f0(g(x))=0=f0(x), logo f0in F1.
  2. Soma: se f,hin F1 então
(f+h)(g(x)) = f(g(x)) + h(g(x)) = f(x) + h(x) = (f+h)(x),
então f+hin F1.
3. Escalar: para alphainR,
(alpha f)(g(x)) = alpha,f(g(x)) = alpha,f(x) = (alpha f)(x),
logo alpha fin F1.
Concluímos que F1 é subespaço de F(R;R).

Resposta

Mostramos que U+W é subespaço de V e que Ucup Wsubset U+W. Além disso, o conjunto
F1=,fmid f(g(x))=f(x)
é subespaço de F(R;R).

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