Sejam
e
subespaços de um espaço vetorial
. Prove que
é um subespaço de
. Além disso,
.
(11) Considere o espaço vetorial
. Fixada a função
, mostre que o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
(11) Considere o espaço vetorial
Passo 1
O enunciado pede dois itens em um espaço vetorial
:
- Mostrar que, dado
e subespaços de , o conjunto
é um subespaço de
e, além disso, provar que
.
2. No caso especial de (o espaço de todas as funções reais de variável real) e fixada uma função
, mostrar que
2. No caso especial de
é um subespaço de
.
Para cada parte, usaremos o critério de subespaço: não pode ser vazio e deve ser fechado sob soma e multiplicação escalar.
Para cada parte, usaremos o critério de subespaço: não pode ser vazio e deve ser fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Definimos
Como
e
são subespaços,
e
. Logo
ou seja,
não é vazio.
Passo 3
Agora fechamos sob soma e escalar. Sejam
e
.
Como cada vale
com
e
, então
Como cada
Como
e
são subespaços,
e
. Logo
.
Analogamente,
Analogamente,
e
,
, logo
. Portanto
é subespaço.
Passo 4
Para ver que
, basta notar que, se
, então
e se
,
Assim qualquer elemento de
ou de
está em
.
Passo 5
No segundo item, o espaço vetorial é
e definimos
Queremos mostrar que
é subespaço: precisamos ver que
, e que se
e
então
e
.
Passo 6
- Zero: a função nula
satisfaz , logo . - Soma: se
então
então
.
3. Escalar: para ,
3. Escalar: para
logo
.
Concluímos que
é subespaço de
.
Resposta
Mostramos que
é subespaço de
e que
. Além disso, o conjunto
é subespaço de
.