Verifique, em cada caso, se a transformação T é linear:
T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(x^2, y).

Passo 1

O enunciado dá a transformação
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (x^2,,y)
O conteúdo aqui é “transformação linear”: para ser linear, T deve satisfazer, para todos u,vinR^3 e todo escalar t,
  1. aditividade: T(u+v) = T(u) + T(v),
  2. homogeneidade: T(t,u) = t,T(u).

Passo 2

Teste da aditividade. Tomemos u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
u + v = (x1 + x2,;y1 + y2,;z1 + z2),
T(u + v) = l((x1 + x2)^2,;y1 + y2r) = l(x1^2 + 2x1x2 + x2^2,;y1 + y2r)
Por outro lado,
T(u) + T(v) = (x1^2,y1) + (x2^2,y2) = (x1^2 + x2^2,;y1 + y2)
Como aparece o termo 2x1x2 em T(u+v) que não está em T(u)+T(v), a aditividade falha.

Passo 3

Teste da homogeneidade. Para escalar t e vetor u=(x1,y1,z1),
Tl(t,ur) = T(t x1,;t y1,;t z1) = l((t x1)^2,;t y1r) = l(t^2 x1^2,;t y1r),
enquanto
t,T(u) = t,(x1^2,y1) = (t,x1^2,;t,y1)
Em geral t^2 x1^2 neq t,x1^2 (por exemplo, para tneq0,1), então a homogeneidade também falha.

Passo 4

Como T não satisfaz nem aditividade nem homogeneidade, concluímos que T não é linear.

Resposta

A transformação T não é linear.

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