Verifique, em cada caso, se o conjunto
é uma base de
. Caso não seja, justifique.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
e
com
formam uma base de
V . O conteúdo teórico envolve dimensão de espaço vetorial, independência linear e geração (spanning).]
Passo 2
Calculamos a dimensão de
V . Cada elemento de
M2times3(R) é dado por
2times3=6 entradas livres, então
O conjunto
S tem apenas
3 vetores (matrizes), logo
lvert Srvert = 3 .
Passo 3
Verificamos agora a independência linear de
S . Considere
Escrevendo a combinação, obtemos a matriz nula se e somente se cada entrada for zero. Das posições
(1,1) ,
(1,2) e
(2,2) vêm as equações
respectivamente. Logo a única combinação que dá zero é
c1=c2=c3=0 , e assim
S é linearmente independente.
Passo 4
Para ser base de
V , além de ser linearmente independente,
S precisa gerar
V . Mas como
um conjunto de
3 vetores não pode gerar um espaço de dimensão
6 . Portanto
S não gera
V .