Verifique, em cada caso, se o conjunto S é uma base de V. Caso não seja, justifique.
V & =M2 times 3(R) e S & =(lll1 & 0 & 1 0 & 0 & 1),(lll0 & 1 & 1 0 & 0 & 0),(lll0 & 0 & 0 0 & 1 & 2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V = M2times3(R)
e
S = lA1,,A2,,A3r
com
A1 = 1 & 0 & 1[4pt]0 & 0 & 1, A2 = 0 & 1 & 1[4pt]0 & 0 & 0, A3 = 0 & 0 & 0[4pt]0 & 1 & 2
formam uma base de V. O conteúdo teórico envolve dimensão de espaço vetorial, independência linear e geração (spanning).]

Passo 2

Calculamos a dimensão de V. Cada elemento de M2times3(R) é dado por 2times3=6 entradas livres, então
dim V = 6
O conjunto S tem apenas 3 vetores (matrizes), logo lvert Srvert = 3.

Passo 3

Verificamos agora a independência linear de S. Considere
c1A1 + c2A2 + c3A3 = 02times3
Escrevendo a combinação, obtemos a matriz nula se e somente se cada entrada for zero. Das posições (1,1), (1,2) e (2,2) vêm as equações
c1 = 0, c2 = 0, c3 = 0,
respectivamente. Logo a única combinação que dá zero é c1=c2=c3=0, e assim S é linearmente independente.

Passo 4

Para ser base de V, além de ser linearmente independente, S precisa gerar V. Mas como
lvert Srvert = 3 < dim V = 6,
um conjunto de 3 vetores não pode gerar um espaço de dimensão 6. Portanto S não gera V.

Resposta

S não é base de V, pois mesmo sendo linearmente independente, não gera todo o espaço ( lvert Srvert<dim V).

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