Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de V.
Quem é W=W1+W2 do item (b)? Faz sentido que seja um espaço vetorial? Por quê?

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que está acontecendo aqui. Temos dois subespaços vetoriais, W1 e W2 , de um espaço vetorial maior, V . A pergunta quer saber o que é W = W1 + W2 e se faz sentido que W seja também um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a soma de dois subespaços e quais propriedades definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é a soma de dois subespaços vetoriais. A soma W1 + W2 é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de W1 com um vetor de W2 . Matemáticamente, isso pode ser representado como:
W = W1 + W2 = w1 + w2 mid w1 in W1, w2 in W2

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse conjunto W satisfaz as propriedades de um espaço vetorial. Para isso, lembre-se que um espaço vetorial precisa ser fechado sob adição e multiplicação por escalar, além de conter o vetor zero.

Passo 4

Vamos verificar a primeira propriedade: fechamento sob adição. Se pegarmos dois vetores quaisquer u = w1 + w2 e v = w1' + w2' em W , então:
u + v = (w1 + w2) + (w1' + w2') = (w1 + w1') + (w2 + w2')
Como W1 e W2 são subespaços, w1 + w1' está em W1 e w2 + w2' está em W2 . Portanto, u + v está em W , mostrando que W é fechado sob adição.

Passo 5

Em seguida, verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Se tomarmos um vetor u = w1 + w2 em W e um escalar c , temos:
c cdot u = c cdot (w1 + w2) = c w1 + c w2
Como W1 e W2 são subespaços, c w1 está em W1 e c w2 está em W2 , então c cdot u está em W , mostrando que W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Finalmente, verificamos se o vetor zero está em W . Como W1 e W2 são subespaços, ambos contêm o vetor zero. Assim, 0 + 0 = 0 está em W .

Resposta

Portanto, W = W1 + W2 é de fato um espaço vetorial, pois satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial.

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