Sejam
e
subespaços vetoriais de
.
Quem é
do item (b)? Faz sentido que seja um espaço vetorial? Por quê?
Quem é
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que está acontecendo aqui. Temos dois subespaços vetoriais,
e
, de um espaço vetorial maior,
. A pergunta quer saber o que é
e se faz sentido que
seja também um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a soma de dois subespaços e quais propriedades definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é a soma de dois subespaços vetoriais. A soma
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
com um vetor de
. Matemáticamente, isso pode ser representado como:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse conjunto
satisfaz as propriedades de um espaço vetorial. Para isso, lembre-se que um espaço vetorial precisa ser fechado sob adição e multiplicação por escalar, além de conter o vetor zero.
Passo 4
Vamos verificar a primeira propriedade: fechamento sob adição. Se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, então:
Como
e
são subespaços,
está em
e
está em
. Portanto,
está em
, mostrando que
é fechado sob adição.
Passo 5
Em seguida, verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Se tomarmos um vetor
em
e um escalar
, temos:
Como
e
são subespaços,
está em
e
está em
, então
está em
, mostrando que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Finalmente, verificamos se o vetor zero está em
. Como
e
são subespaços, ambos contêm o vetor zero. Assim,
está em
.
Resposta
Portanto,
é de fato um espaço vetorial, pois satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial.